Релятивистские уравнения движения многих тел

[Munin]

evgeniy в сообщении #886196 писал(а):

Системы для каждого тела в отдельности, имеющей более сложный вид, чем система

$$R^{ik}-\frac{R}{2} g^{ik}=\frac{8 \pi G}{c^4} \sum \limits_{i=1}^{N} \frac{m_i c}{\sqrt{-g}} u^i u^k \frac{ds_i}{dx^0}$$

я не встречал.

А и не нужно никакого более сложного.

evgeniy в сообщении #886196 писал(а):

Эта система записана для одного тела, какая она будет для N тел я не знаю.

Вот видите, там в формуле буквочка $N$? Это как раз значит, что тел $N,$ а не одно. Или вы формулу в упор прочитать не можете?

evgeniy в сообщении #886196 писал(а):

Идея вывода одинакова, но варьировать надо индекс $g_{ikm}$, где m номер тела. Странно, что Вы этого не понимаете.

Варьировать надо поле и мировые линии.

Впрочем, мне не странно, что вы этого не понимаете. Вы вообще ничего не понимаете. Говорите что-то, как будто осмысленное, но даже когда вам на самые внятные ваши вопросы дают чёткие ответы - ничего не понимаете, и долдоните, долдоните, долдоните снова эти вопросы.

evgeniy в сообщении #886196 писал(а):

И потом Munin , нет у меня поломки в мозгах, как Вы говорите. Просто я подхожу с новых позиций к старым физическим и математическим фактам. При этом у меня случаются проколы, но в основная идея у меня всегда рациональная.

Увы, это всё - поломка в мозгах.

Пусть вас утешает, что вы не один такой.

evgeniy в сообщении #886229 писал(а):

Я берусь за сложные темы

Вы берётесь за то, чего не понимаете, и начинаете требовать нелепостей, и провозглашать нелепости. Лушче бы поучились, или хотя бы попытались послушать, чего вам говорят.

На одном "чувстве собственного величия" никаких великих открытий в физике и математике сделать невозможно.

VladTK в сообщении #886233 писал(а):

Зя или незя - это исследовать надо.

Ну исследуйте. Вляпаетесь в те же проблемы с самодействием, что и в электромагнитном случае (см., напр., Ландау-Лифшица про радиационное трение).

VladTK в сообщении #886233 писал(а):

Точно решить, скорее всего, нельзя

Ага. И это общеизвестно. Но вот неизвестно ТС.

VladTK в сообщении #886233 писал(а):

Но ведь и сама задача здесь поставлена с физической точки зрения не совсем корректно. Вам ли не знать, что в релятивисткой области нужно оперировать понятиями полей, а не мат.точек.

Я про то и говорю ровно с начала темы. И поэтому, мифическими выглядят ваши заявления про "люди пытаются".

[evgeniy]

Попробую написать подробнее. Да я написал очень небрежно, извините.
Дело упирается в возможность решить уравнение ОТО. Ведь величина R,g зависят от многих переменных, количество которых 4N, где N количество тел. Если имеется N тел, то и переменных 4N.
Система уравнений ОТО состоит из 10N уравнений в случае N тел. Это не 10 уравнений, которые вы записали, а гораздо больше, вид остальных уравнений нужно получить. Это уравнения в частных производных относительно метрических тензоров и четырехмерных скоростей.
Ее можно решить с помощью метода Галеркина, полагая $g_{ikn}=\sum_m \alpha_{iknm}(s) \varphi_m(x_1^0,...,x_1^3,...,x_N^0,...,x_N^3)$.
умножая каждое уравнение системы ОТО на величину $\varphi_p(x_1^0,...,x_1^3,..., x_N^0,...,x_N^3)$
и интегрируя по пространству времени. При этом избавляемся от пространственных и временных переменных и остается зависимость от аргумента s. Получим систему $10N^2$ обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций $\alpha_{iknm}(s)$. которые надо определить из системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Но тут возникают проблемы решения нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. оказывается, что при комплексных координатах положения равновесия правая часть дифференциального уравнения стремится к бесконечности. Это происходит из-за стремления действительного решения к бесконечности. Но в случае комплексных значений координат положений равновесия комплексное решение конечно, а действительное решение стремится к бесконечности.
Возникает и производная относительно коэффициента $\alpha_{iknm}(s)$ по координате. Ее надо считать по формуле. Величину $\frac{\partial \alpha_{iknm}(s)}{\partial x_u^k}=\frac{d\alpha_{iknm}(s)}{ds}\frac{\partial s}{\partial x_u^k}=\frac{d\alpha_{iknm}(s)}{ds}\sqrt{g_{lmp}\frac{\partial x_p^l}{\partial x_u^k}\frac{\partial x_p^m}{\partial x_u^k}}=\frac{df}{ds}\sqrt{g_{kku}}$, где величина s, это метрический интервал для многих тел, $g_{lmp}$ метрический тензор p тела.
Скорость определяется из уравнений движения, равенства нулю ковариантной производной от скорости.
Munin, не хотел я выводить систему уравнения движения ОТО для многих тел, так как это не моя тема и не моя идея, но видимо придется.

[Munin]

evgeniy в сообщении #886259 писал(а):

Дело упирается в возможность решить уравнение ОТО.

Дело упирается в то, что вы понятия не имеете, что такое поле, дифференциальное уравнение в частных переменных, решение такого дифференциального уравнения.

Переменных в данном случае $\infty.$

evgeniy в сообщении #886259 писал(а):

Munin, не хотел я выводить систему уравнения движения ОТО для многих тел, так как это не моя тема и не моя идея, но видимо придется.

Кроме бреда, у вас ничего не получится, и мне очень жаль, что вы нас будете доставать этим бредом ещё какое-то время.

[KVV]

VladTK в сообщении #886063 писал(а):

Замечу, что хотя уравнения движения точек внешне напоминают уравнения геодезических, но фактически ими не являются.

В смысле?

[VladTK]

Munin в сообщении #886251 писал(а):

Ну исследуйте. Вляпаетесь в те же проблемы с самодействием, что и в электромагнитном случае (см., напр., Ландау-Лифшица про радиационное трение).

В данном деле я не писатель, а читатель. Разумеется люди, серьезно исследующие эту проблему, борются с самодействием. Успехи есть, но полной победы конечно нет.

Munin в сообщении #886251 писал(а):

VladTK в сообщении #886233 писал(а):

Но ведь и сама задача здесь поставлена с физической точки зрения не совсем корректно. Вам ли не знать, что в релятивисткой области нужно оперировать понятиями полей, а не мат.точек.

Я про то и говорю ровно с начала темы. И поэтому, мифическими выглядят ваши заявления про "люди пытаются".

Почитайте статьи по теме и "мифичность" моих заявлений сразу развеется. Действительно, классическая постановка задачи исследования движения материальных точек в СТО/ОТО (чего как я понял хочет решать ТС) некорректна. В СТО/ОТО система $N$ материальных точек взаимодействует друг с другом не непосредственно, а через поле. Т.е. фактически объектов в исследуемой системе не $N$, а $N+1$. Классическая постановка задачи через силы, действующие между точками, имеет смысл лишь до тех пор пока пренебрегается собственной динамикой поля. Люди же, которые исследуют вопросы гравитационного самодействия, просто надеются найти метод исключения полевых функций из уравнений движения. Т.е. свести систему уравнений для $N+1$ тел к системе уравнений $N$ тел. Тут правда и проблема расходимостей стоит. Вообщем работы людям хватает.

evgeniy в сообщении #886259 писал(а):

Попробую написать подробнее. Да я написал очень небрежно, извините.
Дело упирается в возможность решить уравнение ОТО. Ведь величина R,g зависят от многих переменных, количество которых 4N, где N количество тел. Если имеется N тел, то и переменных 4N...

Повторяю, R, g зависят в данном случае от $4N+4$ переменных. Не верите - пересчитайте аргументы у функций.

evgeniy в сообщении #886259 писал(а):

Система уравнений ОТО состоит из 10N уравнений в случае N тел. Это не 10 уравнений, которые вы записали, а гораздо больше, вид остальных уравнений нужно получить. Это уравнения в частных производных относительно метрических тензоров и четырехмерных скоростей...

Система, которую я записал, содержит всего $4N+10$ уравнений.

evgeniy в сообщении #886259 писал(а):

...Ее можно решить с помощью метода Галеркина...

Дальше идет просто поток сознания, лишенный какого-либо смысла

KVV в сообщении #886424 писал(а):

VladTK в сообщении #886063 писал(а):

Замечу, что хотя уравнения движения точек внешне напоминают уравнения геодезических, но фактически ими не являются.

В смысле?

Приведу простую аналогию. Допустим у нас есть уравнение движения точки:

$$\ddot{x}+\Gamma \dot{x} \dot{x}=0$$

Если $\Gamma$ является просто функцией $x$ (скажем $\Gamma=\frac{1}{x^2}$), то мы можем считать, что частица движется по геодезической некоторого псевдориманового пространства-времени с некоторым метрическим тензором $g_{\mu \nu}$. А вот если $\Gamma=\frac{1}{x^2+a m \dot{x}^2}$, где $a$ - некоторая константа, а $m$ - масса частицы, то каким метрическим тензором будет обладать пространство-время с таким уравнением геодезических?

[evgeniy]

VladTK в сообщении #886464 писал(а):

evgeniy в сообщении #886259
писал(а):
Попробую написать подробнее. Да я написал очень небрежно, извините.
Дело упирается в возможность решить уравнение ОТО. Ведь величина R,g зависят от многих переменных, количество которых 4N, где N количество тел. Если имеется N тел, то и переменных 4N...

Повторяю, R, g зависят в данном случае от $4N+4$ переменных. Не верите - пересчитайте аргументы у функций.

У каждого тела имеется 4 переменных, имеется N тел, всего 4N переменных при 10N-4 независимых метрических тензоров.

VladTK в сообщении #886464 писал(а):

evgeniy в сообщении #886259
писал(а):
...Ее можно решить с помощью метода Галеркина...

Дальше идет просто поток сознания, лишенный какого-либо смысла

Очень плохо когда не понимают простых вещей таких как метод Галеркина. По видимому я решаю одну систему уравнений, а Вы рассматриваете другую.
Приведу систему уравнений, которую я предлагаю решать.
Будем обозначать номер тела индексами $ \alpha,\beta$, пространственные и временные координаты индексами i,k,l,m,n.
Метрический интервал запишется в виде
$ ds^2=\sum_{l,k=0}^3 \sum_{\alpha=1}^N g_{lk\alpha}dx_{\alpha}^l dx_{\alpha}^k$
Т.е. квадраты метрических интервалов каждого тела складываются.
Для записанного Вами уравнения ОТО справа стоит функция зависимости скорости от 4N координат, а слева зависимость от 4 координат. Каждый четырехмерный вектор скорости, входящий в "тензор энергии импульса материи" зависит от метрического интервала, который в свою очередь зависит от 4N координат. Это не непрерывная среда, где можно описать скорость среды в зависимости от 4 координат. Это система N тел, каждое тело определяется своей координатой. Вы решаете не задачу N тел, а задачу для непрерывной среды причем слева стоит непрерывная среда, а справа дискретный тензор энергии импульса каждой частицы, зависящий от 4N координат. Нужно, чтобы и левая часть зависела от 4N координат, как и правая. Или чтобы и левая и правая часть зависела от 4 координат, но тогда правая часть уравнения ОТО не будет описывать N тел. Повторяю, рассматривается задача движения N тел с помощью уравнений ОТО, а не какая-нибудь другая задача.
При этом тензор Риччи каждого тела равен
$ R_{lk \alpha}=\sum_{\beta=1}^N (\frac{\partial \Gamma_{ik \alpha}^l}{\partial x_{\beta}^l}- \frac{\partial \Gamma_{il \alpha}^l}{\partial x_{\beta}^k})+\Gamma_{ik \alpha}^l \Gamma_{lm \alpha}^m- \Gamma_{il \alpha}^m \Gamma_{km \alpha}^l$
Где величина символа Кристоффеля равна
$ \Gamma_{kl \alpha}^i =\sum_{\beta=1}^N \frac{g_{\alpha}^{im}}{2}(\frac{\partial g_{mk \alpha}}{\partial x_{\beta} ^l}+\frac{\partial g_{ml \alpha}}{\partial x_{\beta }^k}- \frac{\partial g_{kl \alpha}}{\partial x_{\beta }^m})$
Тогда уравнение ОТО запишется в виде
$ R_{ik \alpha}-R g_{ik \alpha}/2=\frac{8\pi k}{c^4}T_{ik \alpha}$
Где для элементарных частиц имеем
$ T_{\alpha}^{ik}=m_{\alpha}\delta(\vec x_{\alpha}-\vec x_{0\alpha}) c u_{\alpha}^i u_{\alpha}^k \frac{\partial s}{\sqrt{-g}\partial t}$
Где в дельта функции используется четырехмерный вектор. При этом уравнение движения $\alpha$ тела или частицы запишется в виде
$ \frac{du_{\alpha}^l}{ds}+\Gamma_{pq \alpha}^l u_{\alpha}^p u_{\alpha}^q=0$
Вывод этого уравнения для одного из множества тел ничем не отличается от вывода уравнения для одного тела приведенный у ЛЛ 2. Только дифференцировать надо по координатам всех тел как у тензора кривизны каждого тела $ R_{iknm\alpha}$, у тензора Риччи и у определения символа Кристоффеля, так как метрический тензор зависит от координат всех N тел и надо по индексам всех тел суммировать полученные производные.
Но определяется псевдотензор энергии-импульса каждого тела, который суммируется, образуя суммарный псевдотензор энергии-импульса.

[Munin]

VladTK в сообщении #886464 писал(а):

В данном деле я не писатель, а читатель.

Ну так можно прочитать параграфы про самодействие, и не говорить, что чтобы наткнуться на проблему, нужно проводить исследования. Проблема уже известна.

VladTK в сообщении #886464 писал(а):

Почитайте статьи по теме и "мифичность" моих заявлений сразу развеется.

VladTK в сообщении #886464 писал(а):

Люди же, которые исследуют вопросы гравитационного самодействия, просто надеются найти метод исключения полевых функций из уравнений движения.

Никуда не развеялась. Оказывается, вы просто назвали чем-то одним что-то совершенно другое. При этом, ваше первое заявление - так и осталось мифом. От которого вы уже отказываетесь.

VladTK в сообщении #886464 писал(а):

Система, которую я записал, содержит всего $4N+10$ уравнений.

Из которых $4N$ ОДУ и $10$ ДУЧП. Их просто нельзя так складывать! :-)

evgeniy в сообщении #886489 писал(а):

У каждого тела имеется 4 переменных, имеется N тел, всего 4N переменных при 10N-4 независимых метрических тензоров.

А у поля - ещё $\infty$ переменных. И от того, что вы этого не понимаете, и от этого отворачиваетесь, этот факт не изменится.

evgeniy в сообщении #886489 писал(а):

Очень плохо когда не понимают простых вещей таких как метод Галеркина.

Очень плохо, когда не понимают простых вещей, таких как тип поставленной задачи, и пытаются применить метод к задаче, к которой он никак не подходит.

Дальше опять - псевдоосмысленная говорильня.

Вы вообще знаете, что такое ДУЧП? Хоть раз в жизни сталкивались? Специалист по методу Галёркина, тоже мне...

[evgeniy]

Munin в сообщении #886551 писал(а):

evgeniy в сообщении #886489
писал(а):
У каждого тела имеется 4 переменных, имеется N тел, всего 4N переменных при 10N-4 независимых метрических тензоров.
А у поля - ещё $\infty$ переменных. И от того, что вы этого не понимаете, и от этого отворачиваетесь, этот факт не изменится.

Поясните, что Вы имеете в виду, когда говорите, что у поля бесконечное количество переменных. Выходит у VladTK бесконечное количество переменных, а у меня нет. Поясните.

[Munin]

Вы знакомы с уравнениями Максвелла? Для начала.

[evgeniy]

А Вы обедаете с хлебом или без.
Извините Munin, но я нечаянно пришел на работу в субботу. Срочно ухожу и до понедельника у меня нет интернета.

[Munin]

Вопрос. Эбонитовая палочка заряжена с линейной плотностью заряда $\lambda(x).$ Можно считать её бесконечно тонкой по $y,z,$ и по времени $t$ всё неподвижно. Решение уравнений Максвелла (в данном случае - уравнения Пуассона) для такой палочки зависит от скольки переменных?

[KVV]

VladTK в сообщении #886464 писал(а):

Приведу простую аналогию. Допустим у нас есть уравнение движения точки:

$$\ddot{x}+\Gamma \dot{x} \dot{x}=0$$

Если $\Gamma$ является просто функцией $x$ (скажем $\Gamma=\frac{1}{x^2}$), то мы можем считать, что частица движется по геодезической некоторого псевдориманового пространства-времени с некоторым метрическим тензором $g_{\mu \nu}$. А вот если $\Gamma=\frac{1}{x^2+a m \dot{x}^2}$, где $a$ - некоторая константа, а $m$ - масса частицы, то каким метрическим тензором будет обладать пространство-время с таким уравнением геодезических?

Другим некоторым $g_{\mu \nu}$.
Только теперь похоже частица не будет двигаться по геодезической.

[evgeniy]

Решение уравнений Максвелла сводится к решению уравнений
$\Delta \varphi(x,y,z)=-4\pi \lambda(x)\delta(y-y_0)\delta(z-z_0)$
Палочка эбонитовая, значит имеем диэлектрик. Поле внутри палочки и внешнее поле связаны граничными условиями, тангенциальные компоненты напряжения непрерывны. Как считать напряжение в диэлектрике, через потенциал? Можно доказать формулу $\vec E=-\operatorname{grad}\varphi/\varepsilon$
Откуда для x компоненты напряжения получим граничные условия. Остальные компоненты в граничном условии не используются
Далее строим решение задачи, внутри палочки $\varphi_i (x,y_0,z_0)=\sum_n a_n \psi_n(x)+\varphi_0(x,y_0,z_0)$, где решение неоднородного уравнения определяем через функцию Грина, получится решение [mat]$\varphi_0(x,y_0,z_0)$[/math]. При этом поле вне тела $\varphi_e(x,y,z)=\sum_n b_n \psi_n(x,y,z)$ решение однородного уравнения. Магнитное поле внутри палочки равно нулю, в силу равенства ротора от напряженности $E_x(x)$. Вне палочки можно определить три компоненты электрического поля, и значит определить компоненту $H_x=\operatorname{rot}_x\vec E$ магнитного поля, через коэффициенты $b_n$. Т.е. имеем второе граничное условие, равенство тангенциальных компонент для магнитного поля Т.е. имеем два граничных условия по определению коэффициентов $a_n, b_n$, откуда и следует решение задачи. Граничные условия сводятся к решению линейной системы уравнений.

[Munin]

evgeniy в сообщении #887294 писал(а):

Решение уравнений Максвелла сводится к решению уравнений
$\Delta \varphi(x,y,z)=-4\pi \lambda(x)\delta(y-y_0)\delta(z-z_0)$

Единственная правильная фраза. Это уравнение уже можно было бы решить. Но вы не стали.

Никакого поля внутри палочки нет, и задачи такой нет, потому что палочка бесконечно тонкая. Никакого магнитного поля тоже нет. И самое главное, никаких $a_n,b_n$ и $\psi_n(x)$ нет. Вы абсолютно не знаете, как такие уравнения решать.

Итак, повторяю вопрос (раз на следующий ответа не получилось):
Вы знакомы с уравнениями Максвелла?
Даже упростим. Вы знакомы с уравнением Пуассона? Граничное условие (единственное) на бесконечности $\varphi=0.$

[evgeniy]

Munin в сообщении #887323 писал(а):

evgeniy в сообщении #887294
писал(а):
Решение уравнений Максвелла сводится к решению уравнений
$\Delta \varphi(x,y,z)=-4\pi \lambda(x)\delta(y-y_0)\delta(z-z_0)$
Единственная правильная фраза. Это уравнение уже можно было бы решить. Но вы не стали.

Никакого поля внутри палочки нет, и задачи такой нет, потому что палочка бесконечно тонкая. Никакого магнитного поля тоже нет. И самое главное, никаких $a_n,b_n$ и $\psi_n(x)$ нет. Вы абсолютно не знаете, как такие уравнения решать.

если грамотно решенная задача для палочки конечной, но малой толщины вас не устраивает, то это Ваши проблемы. Если имеем протяженное распределение внешнего источника, то вне его имеется магнитное поле. Если имеем точечный источник, то уравнение выглядит таким образом
$\Delta \varphi(x,y,z)=-4\pi e\delta(x-x_0)\delta(y-y_0)\delta(z-z_0)$
то его решением будет $\varphi=e/\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}$
Munin Вы меня упрекаете, что я не знаю как решаются задачи электродинамики, а даете уравнение, которое имеет только нулевое решение без источника поля. В Вашем уравнении не понятно чему равна величина заряда.