Если сдвиг полюсов эквивалентен изменению обхода, то должно быть
Как-то мне сейчас это не очевидно.
Раз не очевидно, значит Вы не понимаете что такое вычет. Между прочем, это скачок, который испытывает интеграл, когда контур интегрирования "протаскивается" через полюс. С точностью до коэффициента, естественно. Возмите какой-нибудь простой пример. Например, окружность внутри которой один полюс подинтегральной функции. Теперь начните этот полюс двигать простым сдвигом аргумента функции. Ничего не изменится, пока полюс не пересечет контур. А как пересечет, так сразу интеграл скачком изменится на ноль. Кстати, само название отсюда и происходит: разница между до пересечения и после. Коши, кажется, не уверен, придумал.
-- Ср июл 09, 2014 23:54:39 --Это больше похоже на реальность?
Теперь более похоже. Хотя и подозрительно на счет интегрирования по всей оси. Детально проверять я не стану, сами проверяйте. И явно перепутан знак в функции Хевисайда. Обе Ваши ФГ, из первых двух, --- опережающие. А должна быть одна опережающая, а другая --- запаздывающая. Уж избавьте меня от необходимости разбираться где какая при тех определениях фурье-преобразования, что Вы пользуетесь.
-- Ср июл 09, 2014 23:59:52 --С третей стороны, если сам интеграл
расходится, то делать с ним можно что угодно.
Вы не правы. Нужно просто разобраться в смысле этой расходимости. Да и не расходится он вовсе, если более акуратно определить, в каком смысле здесь интегрирование (но есть варианты такого доопределения, их мы тут и обсудали очень долго).
, где 
-- решение однородного ур-ня, 
-- функция Грина
, то считать интеграл можно как угодно, просто в зависимости от способа счета интеграла придется брать ту или иную 
что "нефизично") (среду потом исключают, беря предел для затухания 
). Есть и банальное рассуждение о том, что мы как-то источник шевелим, а после этого от него разбегается волна, а не наоборот (апелляция к причинности).
двумя способами.![$$ G(t, \vec r) = \cfrac{1}{16 \pi^2} ~ \cfrac{1}{r} ~ \int\limits_{-\infty}^\infty \cfrac{k ~dk}{\sqrt{k^2+m^2}} \operatorname{sgn}(t) \left[ e^{-i(\omega_k t - k r)} - e^{i(\omega_k t -k r)} \right] $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/9/649950b9135b16c8790f48fd19aad43e82.png "$$ G(t, \vec r) = \cfrac{1}{16 \pi^2} ~ \cfrac{1}{r} ~ \int\limits_{-\infty}^\infty \cfrac{k ~dk}{\sqrt{k^2+m^2}} \operatorname{sgn}(t) \left[ e^{-i(\omega_k t - k r)} - e^{i(\omega_k t -k r)} \right] $$")
![$$ G(t>0, \vec r) = \cfrac{3}{16 \pi^2} ~ \cfrac{1}{r} ~ \int\limits_{-\infty}^\infty \cfrac{k ~dk}{\sqrt{k^2+m^2}} \left[ e^{-i(\omega_k t - k r)} - e^{i(\omega_k t -k r)} \right] $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/e/88e64f23a9b1d3e0d61628c0fd1a858782.png "$$ G(t>0, \vec r) = \cfrac{3}{16 \pi^2} ~ \cfrac{1}{r} ~ \int\limits_{-\infty}^\infty \cfrac{k ~dk}{\sqrt{k^2+m^2}} \left[ e^{-i(\omega_k t - k r)} - e^{i(\omega_k t -k r)} \right] $$")
![$$ G(t<0, \vec r) = \cfrac{1}{16 \pi^2} ~ \cfrac{1}{r} ~ \int\limits_{-\infty}^\infty \cfrac{k ~dk}{\sqrt{k^2+m^2}} \left[ e^{i(\omega_k t - k r)} - e^{-i(\omega_k t -k r)} \right] $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/2/822edd805fc6c17ea52f74ccd0a5bf3082.png "$$ G(t<0, \vec r) = \cfrac{1}{16 \pi^2} ~ \cfrac{1}{r} ~ \int\limits_{-\infty}^\infty \cfrac{k ~dk}{\sqrt{k^2+m^2}} \left[ e^{i(\omega_k t - k r)} - e^{-i(\omega_k t -k r)} \right] $$")
. Тогда по азимутальному углу интеграл вообще от константы, получается просто множитель 
. По полярному углу интеграл берется очевидной заменой переменных: берете за новую переменную все, что в показателе экспоненты. Остается интеграл по модулю волнового вектора от нуля до плюс бесконечности.
Она разбивается на два слагаемых, в одном меняется знак у 
. В результате получается интеграл по 
.
и 
должны быть сходящимися. И тут у меня мысль останавливается.![$$ \cfrac{1}{8\pi^2} \cfrac{\theta(-t)}{r} \int\limits_{\mathbb R} \cfrac{k dk}{\sqrt{k^2+m^2}} \left[ e^{i(\omega_k t - kr)} - e{-i(\omega_k t - kr)} \right] $$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/c/e8ca5a3c60e79407f960e77a4fd95c1a82.png "$$ \cfrac{1}{8\pi^2} \cfrac{\theta(-t)}{r} \int\limits_{\mathbb R} \cfrac{k dk}{\sqrt{k^2+m^2}} \left[ e^{i(\omega_k t - kr)} - e{-i(\omega_k t - kr)} \right] $$")
![$$ \cfrac{1}{8\pi^2} \cfrac{1}{r} \int\limits_{\mathbb R} \cfrac{k dk}{\sqrt{k^2+m^2}} \left[\theta(t) e^{i(\omega_k t - kr)} - \theta(-t) e{-i(\omega_k t - kr)} \right] $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/4/d14dad9dabc4b8a8f307108743f7834782.png "$$ \cfrac{1}{8\pi^2} \cfrac{1}{r} \int\limits_{\mathbb R} \cfrac{k dk}{\sqrt{k^2+m^2}} \left[\theta(t) e^{i(\omega_k t - kr)} - \theta(-t) e{-i(\omega_k t - kr)} \right] $$")