Если сдвиг полюсов эквивалентен изменению обхода, то должно быть

Как-то мне сейчас это не очевидно.
Раз не очевидно, значит Вы не понимаете что такое вычет. Между прочем, это скачок, который испытывает интеграл, когда контур интегрирования "протаскивается" через полюс. С точностью до коэффициента, естественно. Возмите какой-нибудь простой пример. Например, окружность внутри которой один полюс подинтегральной функции. Теперь начните этот полюс двигать простым сдвигом аргумента функции. Ничего не изменится, пока полюс не пересечет контур. А как пересечет, так сразу интеграл скачком изменится на ноль. Кстати, само название отсюда и происходит: разница между до пересечения и после. Коши, кажется, не уверен, придумал.
-- Ср июл 09, 2014 23:54:39 --Это больше похоже на реальность?
Теперь более похоже. Хотя и подозрительно на счет интегрирования по всей оси. Детально проверять я не стану, сами проверяйте. И явно перепутан знак в функции Хевисайда. Обе Ваши ФГ, из первых двух, --- опережающие. А должна быть одна опережающая, а другая --- запаздывающая. Уж избавьте меня от необходимости разбираться где какая при тех определениях фурье-преобразования, что Вы пользуетесь.
-- Ср июл 09, 2014 23:59:52 --С третей стороны, если сам интеграл

расходится, то делать с ним можно что угодно.
Вы не правы. Нужно просто разобраться в смысле этой расходимости. Да и не расходится он вовсе, если более акуратно определить, в каком смысле здесь интегрирование (но есть варианты такого доопределения, их мы тут и обсудали очень долго).