Один вопрос про редукционную формулу и перенормировку полей

[Name XXX]

Есть вопрос по поводу редукционной формулы. Почему в рамках ее получения утверждается, что (для простоты я выберу скалярное поле и двухточечную функцию Грина) в выражении для пропагатора

$$ G(p_{1}, p_{2}) = \int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}e^{-ix_{1}p_{1} - ix_{2}p_{2}}\langle | \hat {T}\left( \hat {\Psi}(x_{1}) \hat {\Psi}(x_{2})\right)|\rangle \to -\frac{i(2 \pi )^{4}|N|^{2}}{p_{1}^{2} - m^{2} - i\varepsilon}\delta (p_{1} + p_{2}) $$

фигурирует множитель $|N|^{2} \neq 1$ (его еще принято обозначать как $Z$; им нормируют поле)?

[espe]

Вроде бы да. В книге должно быть написано. Вы какую книгу читаете?

[Name XXX]

espe, да разные. В частности, книгу Вайнберга. Я вот там пропустил, оказывается, параграф о том, что для скалярного поля, в частности, выполняется соотношение

$$ $$

1 = Z + \int \limits_{m^2}^{\nifty} \rho (\mu ) d(\mu^2) ,

$$ где второе слагаемое, если сильно утрировать, является мерой поля рождать не одночастичные состояния в теории со взаимодействием. Отсюда для Z есть условие, что оно лежит в пределах от нуля до единицы. Вроде как, аналогичным образом такую штуку можно вывести для поля произвольного спина, однако ума не приложу, как это сделать. Пусть даже мне известно выражение для пропагатора поля данного спина.<br /><br /><span style=

<span style="font-weight: bold">espe</span><!-- b end -->, да разные. В частности, книгу Вайнберга. Я вот там пропустил, оказывается, параграф о том, что для скалярного поля, в частности, выполняется соотношение$$" title="$$ где второе слагаемое, если сильно утрировать, является мерой поля рождать не одночастичные состояния в теории со взаимодействием. Отсюда для Z есть условие, что оно лежит в пределах от нуля до единицы. Вроде как, аналогичным образом такую штуку можно вывести для поля произвольного спина, однако ума не приложу, как это сделать. Пусть даже мне известно выражение для пропагатора поля данного спина.

<span style="color: blue"><span style="font-size: 75%; line-height: normal">-- 07.07.2014, 10:00 --</span><!-- size end --></span><!-- colour end -->

<span style="font-weight: bold">espe</span><!-- b end -->, да разные. В частности, книгу Вайнберга. Я вот там пропустил, оказывается, параграф о том, что для скалярного поля, в частности, выполняется соотношение$$" loading="lazy" decoding="async" />

$$ 1 = Z + \int \limits_{m^2}^{\nifty} \rho (\mu ) d(\mu^2) , $$

где второе слагаемое, если сильно утрировать, является мерой поля рождать не одночастичные состояния в теории со взаимодействием. Отсюда для Z есть условие, что оно лежит в пределах от нуля до единицы.

Вроде как, аналогичным образом такую штуку можно вывести для поля произвольного спина, однако ума не приложу, как это сделать. Пусть даже мне известно выражение для пропагатора поля данного спина.

[espe]

Вникать сейчас во всё это времени нет. Может быть позже.

Ну а на вскидку.
А что меняется принципиально для поля произвольного спина? Появляются индексы у поля, у пропагаторов, а у остального вроде бы индексы не появляются. Рассуждения наверно будут те же самые.

[Name XXX]

espe, спасибо, что Вы отвечаете вообще.

Навскидку? По ссылке, https://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%A4ll ... esentation (для удобства беру с интернет-источника), приведено выведение для скалярного случая (также можно почитать о выведении в первом томе Вайнберга, раздел 10.7, или же в книге Грайнера, Field Quantization, раздел 9). В выведении с некоторого момента начинает фигурировать функция $\rho (\mu )$ с рядом замечательных свойств. Она определяется через величину $|\langle n| \hat {\Psi} (0) |0 \rangle |^{2}$, которая для скалярного случая является скаляром. Если же перейти к рассмотрению поля произвольного спина, то будет фигурировать выражение $\langle 0| \hat {\Psi}_{m}(0)| n\rangle \langle n| \hat {\Psi}^{\dagger}_{l}(0)| 0 \rangle $. Если для $n = 1$ (одночастичных состояний) можно извлечь эту тензорную часть $ F_{lm}(p) =\sum_{\sigma}u_{m}^{\sigma}(\mathbf p )\left( u_{l}^{\sigma}(\mathbf p ) \right)^{\dagger}$ (величины $u$ - коэффициентные функции разложения свободных полей) и, по ходу выведения, прийти к пропагатору свободного поля (с нормировкой) $ZD_{lm}(p) = Z \frac{F_{lm}(p)}{p^{2} - m^{2} - i\varepsilon }$, то для $n \neq 1$ я не могу выделить эту часть. Не знаю, является ли это критичным, но мне это не нравится. Вряд ли с таким раскладом получится получить неравенство $0 \leqslant Z \leqslant 1$.

[Name XXX]

Во-вторых, стоит заметить, что поля $\hat {\Psi}(x), \frac{d}{dt}\hat {\Psi}(x)$ являются обобщенными координатой и импульсом соответственно, потому для них справедливо соотношение $[\hat {\Psi} (\mathbf x, t), \frac{d}{dt}\hat {\Psi}(\mathbf y, t)] = i\delta (\mathbf x - \mathbf y )$. Это соотношение использовалось для выведения соотношения $0 \leqslant Z \leqslant 1$ (детали приведены в книгах Вайнберга и Грайнера). Однако далеко не для всех полей производная по времени к полю образует канонический импульс для самого поля. В качестве примера достаточно рассмотреть все поля со спином старше 0. [:)]. Потому для разных полей нужно подбирать соответствующие канонические импульсы, что для произвольного случая есть трудно решаемой (если не нереализуемой) задачей.

Между тем, тот же Вайнберг пишет, что результат для скалярного поля легко обобщается на случай полей произвольного спина. Жаль только, что деталей он не написал. [:)].

P.S. Да, видимо, можно допустить, что ничего страшного в том, что появляются индексы при рассмотрении поля произвольного спина, нет. Вы правы, мне кажется.

[Munin]

Name XXX в сообщении #885147 писал(а):

Потому для разных полей нужно подбирать соответствующие канонические импульсы, что для произвольного случая есть трудно решаемой (если не нереализуемой) задачей.

А разве не стандартно, как в механике, $\pi(x)=\delta L/\delta\Psi(x)$?

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #885218 писал(а):

А разве не стандартно, как в механике, $\pi(x)=\delta L/\delta\Psi(x)$?

Это полдела. Нужно еще выразить (однозначно!) скорости (все!) через такие импульсы. А эта задача может оказаться неразрешимой. У Вас в формуле, кстати, точка потеряна.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #885229 писал(а):

Нужно еще выразить (однозначно!) скорости (все!) через такие импульсы.

Э-э-э, с чего бы это? Во-первых, скорости - через координаты и импульсы. Во-вторых, просто не нужно. Это уже есть канонический импульс, и для него соответствующее коммутационное соотношение.

Alex-Yu в сообщении #885229 писал(а):

У Вас в формуле, кстати, точка потеряна.

Да. $\pi(x)=\delta L/\delta(\partial_t\Psi(x)).$ Теперь точка на месте (в конце предложения).

[Name XXX]

Munin, в ЭМ случае, к примеру, один канонический импульс равен нулю, а на одну компоненту поля наложена связь. Там нельзя проквантовать поле через канонический формализм. Для массивного поля спина 1 один канонический импульс также равен нулю. Плюс если для скалярного поля так получалось, что поля пропагатора совпадают с полями канонического коммутатора, что было ключевым для наложения условий на Z. Однако в других случаях все не так.

[Alex-Yu]

Name XXX в сообщении #885295 писал(а):

в ЭМ случае, к примеру, один канонический импульс равен нулю, а на одну компоненту поля наложена связь. Там нельзя проквантовать поле через канонический формализм.

Можно. Но с заморочками, через обобщенный канонический формализм со скобками Дирака вместо скобок Пуассона. Есть и другие (хотя менее строго обоснованные) методы (например способ Фаддеева-Попова через конт. интеграл).

-- Вт июл 08, 2014 16:47:29 --

Munin в сообщении #885258 писал(а):

Это уже есть канонический импульс, и для него соответствующее коммутационное соотношение.

А вот и нет! Для "неправильных" канонических импульсов нет канонических коммутационных соотношений. Например, если некий импульс --- тождественный ноль, то он никак не может при коммутации с координатой давать $i\hbar$.

[Name XXX]

Alex-Yu, как раз скобки Дирака там зануляются (потому что уравнения-связи для ЭМ поля - так называемого первого рода). В этом - принципиальное отличие ЭМ поля от массивного спина 1. Там нужно как-то модифицировать лагранжиан, чтобы как-то ввести.

[Name XXX]

Пардон, нулевыми являются скобки Пуассона для связей, из-за чего нельзя ввести скобки Дирака.

[espe]

Почитал немного Вайнберга и Грайнера. И первая проблема -- как обобщить соотношение (10.7.4) из Вайнберга на случай произвольного спина. Должно быть что-то типа

$$\sum_n \delta(p-p_n)\;\langle 0| \hat {\Psi}^{m}(0)| n\rangle \langle n| \hat {\Psi}^{\dagger}_{l}(0)| 0 \rangle = (2\pi)^{-3}\theta(p^0)\rho^m_l(-p^2,\ldots)$$

Имхо, $\rho^m_l$ не может зависеть только от $p^2$, так как у неё должны откуда-то появиться индексы. Например для спинорного поля должна быть зависимость от $\gamma^\mu p_\mu$. Но если это так, то вся дальнейшая конструкция в буквальном виде не применима для полей произвольного спина. Либо я где-то ошибся, либо обобщение не такое прямолинейное.

[Name XXX]

espe, возможно, вакуумное среднее (пропагатор) из требований Лоренц-ковариантности можно будет переписать в виде $\frac{F_{pm}(p)}{p^{2} - m^{2} - i\varepsilon}\rho (p^{2})$, где функция плотности равна единице для свободного поля. Но что делать дальше? Не вводить же для каждого нового поля канонические координаты и импульсы...