Операции и алгебраические системы

[1r0pb]

Показать, что система положительных чисел с операцией сложения не изоморфна системе неотрицательных чисел с операцией сложения.

Построим взаимно однозначное соответствие:

${R}^{+}\rightarrow \bar{{R}^{-}}:\ \varphi (x)=\begin{cases} & \text{} x,\ x\in \{{R}^{+},\ x\neq n,\ n=1,2,...\}, \\ & \text{} x-1,\ x=n\ . \end{cases}$

Покажем, что отображение не является гомоморфным, т.е.

$\varphi (a+b)=(a+b)-1\neq \varphi (a)+\varphi (b)=(a-1)+(b-1),\ a,b\in \{1,2,...,n,...\}.$

Так можно доказывать?

[Otta]

Что? Что это $\varphi$ - не гомоморфизм? Пожалуйста. А что потом?

[Foxer]

Что значит изморфность "систем"?

[Mathusic]

Foxer в сообщении #882658 писал(а):

Что значит изморфность "систем"?

Вероятно, биекция, сохраняющая операцию (т.е. существование таковой).
1r0pb
Рассмотрите $\varphi(x+0)$ для некоторого положительного $x$.

[1r0pb]

Цитата:

Что? Что это $\varphi$ - не гомоморфизм? Пожалуйста. А что потом?

Да, не гомоморфизм. Из этого следует отсутствие изоморфизма систем, так как, как правильно заметил(а) Mathusic,

Цитата:

Вероятно, биекция, сохраняющая операцию (т.е. существование таковой).

Mathusic а разве мои рассуждения ошибочны?

[Mathusic]

1r0pb в сообщении #882734 писал(а):

Mathusic а разве мои рассуждения ошибочны?

Вы рассмотрели только один пример биекции, а нужно -- все.

[Otta]

1r0pb в сообщении #882734 писал(а):

Да, не гомоморфизм. Из этого следует отсутствие изоморфизма систем, так как,

Вы меня извините, я человек малограмотный, и могу еще понять, как строить гомоморфизм групп. А операции, заданные на Ваших множествах, мне всегда казалось, групповыми не являются.
И потом, я не понимаю, как из того, что стол не является ложкой, следует отсутствие столовых приборов. :(

1r0pb в сообщении #882734 писал(а):

так как, как правильно заметил(а) Mathusic,

Он этого не замечал.

[1r0pb]

Цитата:

Вы рассмотрели только один пример биекции

Это как понимать? Если я понял так как понял, то вторая биекция гомоморфна.

[Mathusic]

1r0pb в сообщении #882748 писал(а):

Это как понимать? Если я понял так как понял, то вторая биекция гомоморфна.

Но ведь у вас только одна.

[Otta]

1r0pb
Что означает, что Ваши системы изоморфны? Напишите.
Что означает, что неизоморфны? Тоже напишите. Пожалуйста.

[1r0pb]

Цитата:

Что означает, что Ваши системы изоморфны? Напишите.

Если имеется гомоморфное отображение систем, при котором множество первой системы отображается на множество второй системы взаимно однозначно.

Отображение построил, а гомоморфность опроверг. Но если бы я был в этом уверен, то не просил бы совета.

[Joker_vD]

1r0pb
Окей, глядите: отображение $f\colon \mathbb Z\to\mathbb Z$, действует по правилу $f(a)=a+1$. Оно не гомоморфно: $3=f(2)=f(1+1)\ne f(1)+f(1)=2+2=4$, поэтому $\mathbb Z$ не изоморфно самому себе.

[1r0pb]

Joker_vD
да, спасибо. Ну а я что говорю?
А, ну т.е. отсутствие гомоморфности не является фактором отсутствия изоморфности?

[Otta]

[Joker_vD]

1r0pb
Беда в том, что $\mathbb Z$ изоморфно самому себе: отображение $g(a)=a$ является изоморфизмом.