Компакт

[nop]

Доброго времени суток!
Завтра экзамен, а некоторые вопросы остаются для меня тайной и противоречат логике, поэтому прошу помощи.
1. Определение компактного множества (из википедии):
Компактное пространство — топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.
Таким нам его давал преподаватель (без слова "топологическое", но суть такая же), но у меня возникли непонятки. Компакт - это замкнутое и ограниченное множество. Аналог компакта на прямой - отрезок, на плоскости - замкнутая область. Но! Интервал не является компактом (как аналог открытого множества в $R$). Теперь возвращаемся к определению компакта - "в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие". Что мешает взять интервал $(0, 1)$ и покрыть его покрытием (простите за тавтологию) из одного куска - интервала $(-1, 2)$, к примеру? И отрезок аналогично. Из банальной логики получается, что конечное подпокрытие может быть у любой ограниченной фигуры, но зачем нам замкнутость? Просьба объяснить именно определение через покрытия, без упоминания фундаментальный последовательностей.

Был еще второй вопрос, но, пока писал и разбирался с LaTeX'ом, понял

[Oleg Zubelevich]

обратите внимание на слово "любом" в определении

-- Вт июл 01, 2014 12:39:26 --

nop в сообщении #882678 писал(а):

Компакт - это замкнутое и ограниченное множество.

в общем топологическом пространстве нет понятия "ограниченное множество"

[nop]

Oleg Zubelevich в сообщении #882679 писал(а):

обратите внимание на слово "любом" в определении

Оно-то меня и смущало. Но всё равно, можно контрпример для интервала $(0, 1)$?

Oleg Zubelevich в сообщении #882679 писал(а):

в общем топологическом пространстве нет понятия "ограниченное множество"

Примеры компактов: Замкнутые и ограниченные множества в $\mathds{R}^n$
Из той же википедии. Мне нужен банальный пример в простейшем пространстве, и всё станет ясно. Определения "топологические пространства" у нас еще не было.

[Oleg Zubelevich]

возьмите открытое покрытие интервала $(0,1)=\cup_{i=2}^\infty(0,1-1/i)$ из него нельзя выделить конечное подпокрытие

-- Вт июл 01, 2014 12:50:16 --

nop в сообщении #882684 писал(а):

римеры компактов: Замкнутые и ограниченные множества в $\mathds{R}^n$
Из той же википедии. Мне нужен банальный пример в простейшем пространстве

не надо валить все в одну кучу, в$\mathbb{R}^m$ -- да компактами являются замкнуты и ограниченные множества и только они, а вообще -- см выше

[nop]

Oleg Zubelevich в сообщении #882687 писал(а):

возьмите открытое покрытие интервала $(0,1)=\cup_{i=2}^\infty(0,1-1/i)$ из него нельзя выделить конечное подпокрытие

Покрытие может быть из $\infty$ числа элементов, этого я не знал. Огромное спасибо, вопрос исчерпан.

[Henrylee]

nop в сообщении #882688 писал(а):

Покрытие может быть из $\infty$ числа элементов, этого я не знал.

И даже необязательно из счетного. Покройте компакт несчетным числом открытых множеств - все равно найдется конечное подпокрытие.