Пустое множество

[TelmanStud]

Доброго вечера!
Не могли бы подсказать
a) множество $\{(10,10)\}$ это пустое множество или множество, содержащее пустое множество.
б)Верно ли $A=A\cup\{(10,10)\}$

[Nemiroff]

Пустое множество --- это $\varnothing$. Убирайте десятки.
После этого расскажите, что вы понимаете под круглыми скобками.
Если же десятки подразумевались, то непонятно, о чём вопрос --- вон у вас элементы есть, какое ж пустое?

[ewert]

TelmanStud в сообщении #881379 писал(а):

a) множество $\{(10,10)\}$ это пустое множество или множество, содержащее пустое множество.

Второе.

TelmanStud в сообщении #881379 писал(а):

б)Верно ли $A=A\cup\{(10,10)\}$

Почему бы и нет?

Но и не исключено, что нет

[TelmanStud]

$(a,b)$ множество без граничных точек

[Nemiroff]

TelmanStud в сообщении #881387 писал(а):

$(a,b)$ множество без граничных точек

Отлично --- вот вам элемент $(10,10)$. Это какая-то гадость. А вот вам $\{(10,10)\}$ --- это множество, содержащее гадость. Явно не пустое --- в нем один элемент есть.

TelmanStud в сообщении #881379 писал(а):

Верно ли $A=A\cup\{(10,10)\}$

В общем случае нет.

[TelmanStud]

вот вы говорите, что в общем случае нет, не могли бы поделится рассуждениями
Вот например для $A=\{(-3,1]\}\cup \{2\}$ это верно?

[Nemiroff]

Ну смотрите, $(10,10)$ похоже на пустое множество. Если у вас $A$ содержит пустое множество в качестве элемента, то объединение не даст ничего нового. Если же не содержит, то это и будет "общим случаем".

TelmanStud в сообщении #881394 писал(а):

Вот например для $A=\{(-3,3]\}\cup \{2\}$ это верно?

Ну вот какие тут элементы? Двойка и промежуток. Пустое множество является чем-то из них? Нет.

[TelmanStud]

Я тут менял часто последнее сообщение. У меня множество содержащее промежуток и двойка.
Ну и маленький вопрос, по определению самого множества любое множество содержит пустое множество?

[ShMaxG]

TelmanStud
Да, всегда $\[\varnothing \subset A\]$, но не всегда $\[\varnothing \in A\]$.

[TelmanStud]

Благодарю всех!

[iifat]

Хм. Вы, часом, в терминах не путаетесь? $(10,10)$ — это открытый отрезок, множество точек, ну или действительных чисел. Оно содержит, например, точку/число ноль.
$\left\{(10,10)\right\}$ — это множество с одним элементом, который есть открытый отрезок, но это с точки зрения теории множеств неважно. Оно не содержит точку/число ноль.
Если вы эту разницу понимаете, то прошу прощения за назойливость; если не вполне, то лучше таки разобраться.

[TelmanStud]

iifat в сообщении #881414 писал(а):

Хм. Вы, часом, в терминах не путаетесь? $(10,10)$ — это открытый отрезок, множество точек, ну или действительных чисел. Оно содержит, например, точку/число ноль.
$\left\{(10,10)\right\}$ — это множество с одним элементом, который есть открытый отрезок, но это с точки зрения теории множеств неважно. Оно не содержит точку/число ноль.
Если вы эту разницу понимаете, то прошу прощения за назойливость; если не вполне, то лучше таки разобраться.

С чего это $(10,10)$ содержит точку/число ноль?

-- 28.06.2014, 21:51 --

хм

[Nemiroff]

TelmanStud в сообщении #881399 писал(а):

Ну и маленький вопрос, по определению самого множества любое множество содержит пустое множество?

ShMaxG ответил, я только уточню --- любое множество содержит пустое множество в качестве подмножества. При этом куча множеств не содержит пустого множества в качестве элемента. Собственно, я просто повторил формулу словами.

iifat в сообщении #881414 писал(а):

$(10,10)$ — это открытый отрезок, множество точек, ну или действительных чисел. Оно содержит, например, точку/число ноль.

TelmanStud в сообщении #881424 писал(а):

С чего это $(10,10)$ содержит точку/число ноль?

Тот же вопрос.

[ShMaxG]

Nemiroff в сообщении #881510 писал(а):

ShMaxG ответил, я только уточню --- любое множество содержит пустое множество в качестве подмножества. При этом куча множеств не содержит пустого множества в качестве элемента. Собственно, я просто повторил формулу словами.

А я еще точнее скажу. Пустое множество всегда является подмножеством данного множества, но не всегда является его элементом.

$(10,10)$ ноль не содержит. Вообще ничего не содержит, значит пусто.

[iifat]

TelmanStud в сообщении #881424 писал(а):

С чего это $(10,10)$ содержит точку/число ноль?

Nemiroff в сообщении #881510 писал(а):

Тот же вопрос

Виноват. Поторопился.

ShMaxG в сообщении #881522 писал(а):

$(10,10)$ ноль не содержит. Вообще ничего не содержит, значит пусто

Да.