Неопределённый интеграл не хочет браться

[tetroel]

Добрый день.
Я чего-то завис
Есть такой вот интеграл $\int \sqrt[3]{\frac{x^2}{2-x}} \, dx$
И что-то у меня не получается его осилить

Я пробовал замену $-1+\frac{2}{x}=t^3$ как третий случай интегралов с биномом, но что-то легче от этого не стало.


Получилось нечто $-\int\frac{6t \sqrt[3]{2} }{\left(t^3+1\right)^{7/3}} \, dt$
Есть какие-то идеи?

[Sender]

Неправильно получилось, проверьте выкладки.

[Brukvalub]

tetroel в сообщении #871707 писал(а):

...
Я пробовал замену $-1+\frac{2}{x}=t^3$ как третий случай интегралов с биномом, но что-то легче от этого не стало.
...

Как узнали, что нужно применять третий случай бинома? Почему не попробовали УТП?

[tetroel]

Brukvalub в сообщении #871717 писал(а):

tetroel в сообщении #871707 писал(а):

...
Я пробовал замену $-1+\frac{2}{x}=t^3$ как третий случай интегралов с биномом, но что-то легче от этого не стало.
...

Как узнали, что нужно применять третий случай бинома? Почему не попробовали УТП?

Потому что $x^\frac{2}{3}\left(2-x\right)^\frac{1}{3}$

Sender в сообщении #871713 писал(а):

Неправильно получилось, проверьте выкладки.

Невозможно, потому что Mathematica. Имеется в виду, что интеграл берётся от 0 до 2, поэтому, скорее всего, для общего случая это действительно неверно.

[Brukvalub]

tetroel в сообщении #871721 писал(а):

Brukvalub в сообщении #871717 писал(а):

tetroel в сообщении #871707 писал(а):

...
Я пробовал замену $-1+\frac{2}{x}=t^3$ как третий случай интегралов с биномом, но что-то легче от этого не стало.
...

Как узнали, что нужно применять третий случай бинома? Почему не попробовали УТП?

Потому что $x^\frac{2}{3}\left(2-x\right)^\frac{1}{3}$
...

Ну вот, вы и степеням не обучены, а к интегралам уже тянетесь. Печально.

[tetroel]

...

Цитата:

Ну вот, вы и степеням не обучены, а к интегралам уже тянетесь. Печально.

Лол. Точно. Вот так люди экзамен не сдаю. Спасибо! Сейчас попробую с новой информацией, так сказать:з

-- 04.06.2014, 13:53 --

Воу. То есть, так и написать, что интеграл не берётся по теореме Чебышева?
Ну, получается, что $\frac{2}{3}+1-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$, число не целое, в элементарных функциях не выражается.
А можно тогда как-то вычислить определённый интеграл $\int_0^2 \sqrt[3]{\frac{x^2}{2-x}} \, dx$ ?

Mathematica-то может, а вручную?

[ИСН]

Бета-функция очевидная же.

[StaticZero]

Есть же приближенные способы вычисления определенных интегралов. По-видимому, смысл задачи в этом, насколько я понял.

[Seergey]

ИСН в сообщении #871730 писал(а):

Бета-функция очевидная же.

Была бы Бета функцией, если бы это был определенный интеграл от 0 до 1

[Otta]

Забавный критерий бетости.
И что мешает из этого интеграла получить

Seergey в сообщении #872052 писал(а):

определенный интеграл от 0 до 1

?

[Seergey]

Otta в сообщении #872054 писал(а):

Забавный критерий бетости.
И что мешает из этого интеграла получить

Seergey в сообщении #872052 писал(а):

определенный интеграл от 0 до 1

?

То что это неопределённый интеграл (даже тема так называется) и в элементарных функциях он не выражается

[Otta]

Seergey

tetroel в сообщении #871726 писал(а):

А можно тогда как-то вычислить определённый интеграл $\int_0^2 \sqrt[3]{\frac{x^2}{2-x}} \, dx$ ?

[Seergey]

Otta в сообщении #872060 писал(а):

Seergey

tetroel в сообщении #871726 писал(а):

А можно тогда как-то вычислить определённый интеграл $\int_0^2 \sqrt[3]{\frac{x^2}{2-x}} \, dx$ ?

Этот можно, я его не увидел

-- 05.06.2014, 16:49 --

$\int_0^2 x^{\frac{2}{3}} (2-x)^{-\frac{1}{3}} dx=\int_0^1 (2t)^{\frac{2}{3}} (2-2t)^{-\frac{1}{3}}2dt=2^{\frac{2}{3}} 2^{-\frac{1}{3}}2 \int_0^1 t^{\frac{2}{3}} (1-t)^{-\frac{1}{3}}=2^{\frac{4}{3}}Beta(\frac{5}{3},\frac{2}{3})$