Площадь криволинейной трапеции. Как найти?

[hassword]

Мне известна формула Ньютона — Лейбница.Мне нужно на сфере. То есть геометрия не плоская, а сфера. Есть ли аналог такой формулы на сфере.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
hassword, создавайте темы в разделе "Помогите решить"

[ИСН]

Что такое трапеция на сфере, для начала? У трапеции, хотя бы и криволинейной, было что-то чему-то параллельно. На сфере ничего ничему не параллельно.

[hassword]

ИСН в сообщении #870166 писал(а):

Что такое трапеция на сфере, для начала? У трапеции, хотя бы и криволинейной, было что-то чему-то параллельно. На сфере ничего ничему не параллельно.

зато перпендикулярно.Ввести координаты и перпендикулярные прямые, нарисовать кривую на сфере я думаю не составит особого труда.

Ну как я сам понял это типа сферические координаты с фиксированной $r$(радиус сферы)
только вот как ее адаптировать к двумерному аналогу.

[ИСН]

Сферические координаты я знаю, но площадь чего Вы хотите искать - так и не понял.

[hassword]

ИСН в сообщении #870206 писал(а):

Сферические координаты я знаю, но площадь чего Вы хотите искать - так и не понял.

Аналогия с декартовыми координатами .Вводим прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями.Рисуем от балды какую ни будь кривую.И дополнительно рисуем две прямые перпендикулярные оси $x$,которые ограничивают кривую.И у нас получается криволинейная трапеция.
Для примера кривой возьмем ну например окружность $x^2+y^2=r^2$, на сфере это будет $cos(\frac{x}{R})cos(\frac{y}{R})=cos(\frac{r}{R})$
Например окружность и прямая $x=a,r>a$ создает криволинейную трапецию.Найти ее площадь.

[ИСН]

Аналогия бывает между чем-то и чем-то. Одну сторону Вы пояснили, да в принципе она и так общеизвестна. А другая сторона - что? Что Вы делаете на сфере? Область какую-то задаёте? Как?

-- менее минуты назад --

Ах так. Хм. Щас.

-- менее минуты назад --

Короче, это будет какая-то округлая область, и по ней надо будет брать двойной интеграл от элемента площади сферы, который в декартовых координатах выглядит уродливо. А если переходить в сферические, то там уродливо выглядит сама область.

-- менее минуты назад --

Записать это как-то однократным интегралом я не вижу способа.

[Skeptic]

ИСН в сообщении #870166 писал(а):

Что такое трапеция на сфере, для начала? У трапеции, хотя бы и криволинейной, было что-то чему-то параллельно. На сфере ничего ничему не параллельно.

Разве две окружности, полученные пересечением сферы двумя параллельными плоскостями, не будут параллельны друг другу?

[Otta]

Нет.

[mihailm]

Не совсем, просто окружности (хотя бы одна из них) не будут прямыми)
А параллельные кривые это че?
Вот например, прямая с непересекающейся окружностью на плоскости параллельны?

[Skeptic]

Если на сфере построить четырёхугольник так, что две противоположные стороны лежат на окружностях, образованных пересечением двух параллельных плоскостей, то можно этот четырёхугольник на сфере уподобить трапеции на плоскости?

[Pphantom]

Skeptic в сообщении #870615 писал(а):

Если на сфере построить четырёхугольник так, что две противоположные стороны лежат на окружностях, образованных пересечением двух параллельных плоскостей, то можно этот четырёхугольник на сфере уподобить трапеции на плоскости?

Это не будет четырехугольником. Геодезическими на сфере являются только окружности, возникающие при сечении сферы плоскостями, проходящими через ее центр. Соответственно, для Ваших двух окружностей как минимум одна геодезической не будет, т.е. у "четырехугольника" хотя бы одна сторона - кривая.

Исходная задача решается попросту разбиением фигуры на два треугольника, для каждого из которых площадь равна сумме углов треугольника минус $\pi$. Но это при условии, что все стороны фигуры - отрезки геодезических (дуги больших кругов), иначе таки надо сначала понять, что ТС называет "трапецией".

[Otta]

Я так понимаю, у Skeptic свои заботы, не связанные с римановой геометрией. Видимо (?), его интересует, будет ли такого сорта область трапецией в сферической системе координат.

[Munin]

hassword в сообщении #870210 писал(а):

Вводим прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями.

Введите внятно систему координат. На сфере их может быть вагон и маленькая тележка.

[Алексей К.]

hassword в сообщении #870127 писал(а):

Мне известна формула Ньютона — Лейбница.Мне нужно на сфере.

Надо вырвать страничку из Зорича (Кудрявцева, Корна, пр.) и аккуратно наклеить на глобус.