Производная неявной функции

[l1pton17]

Помогите разобраться с двумя задачками:
1) Для функции $z=z(x,y)$, определяемой уравнением $y-z=e^{xz}$, найти $dz$ и $d^2z$ в точке (1, 1).


Первый дифференциал я нашел легко, просто взял производную:
$dy-dz=e^{xz}(zdx-xdz) \Rightarrow dz=\frac{ze^{xz}dx-dy}{xe^{xz}-1}$
Со вторым дифференциалом все сложнее, пробовал взять производную:
$d^2y-d^z=(e^{xz}(zdx-xdz))'$, после чего все это раскрывается в адски большую формулу и вообще не похоже на правду.
Ещё смущает то, что вроде как есть такая формула для функции многих переменных: $df(x_1,\dots,x_k)=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\dots+\frac{\partial f}{\partial x_k}dx_k$, но вот как брать производную, например по $x$, в данном случае не знаю, так как не могу выразить $z$ явно.
Вроде бы должна быть какая-то формула для выражения дифференциала неявной функции, но как-то не могу её найти.

2) Для функции $z(x,y)$ найти производную $\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}$ при $u=2,v=1$, если
$x=u+v^2$
$y=u^2-v^3$
$z=2uv$


Для начала пробовал найти $du, dv$ через $dx, dy$, получил:
$dx=du+2vdv\\dy=2udu-3v^2dv\\dz=2vdu+2udv$
отсюда выразил $du$ и $dv$.
Но не могу понять как делать дальше.

[Алексей К.]

l1pton17 в сообщении #869406 писал(а):

$dy-dz=e^{xz}(zdx{\color{magenta}{}-{}}xdz)$

Утром проверьте обоснованность того минуса, что я разукрасил. Я тоже ещё проверю, но не сейчас...

[iifat]

l1pton17 в сообщении #869406 писал(а):

после чего все это раскрывается в адски большую формулу и вообще не похоже на правду

Сочуствую (это я про "адски большую"), но само по себе — не криминал. А почему не похоже на правду? Где вы её (правду) такую непохожую взяли?

l1pton17 в сообщении #869406 писал(а):

не могу понять как делать дальше

А с какого именно места проблем? Вторая производная — она в точности такая же как первая. Только вторая.

[warlock66613]

l1pton17 в сообщении #869406 писал(а):

как брать производную, например по $x$, в данном случае не знаю, так как не могу выразить $z$ явно

Как обычно: просто возьмите производную от обеих частей соответствующего уравнения, а уже из получившегося уравнения находите производную $z$.