Диффеоморфизм многообразий

[Jammin]

Добрый день.

Необходимо проверить, что диффеоморфные многообразия имеют одинаковую размерность.

Подумалось, что, при картах $\varphi$ и $\psi$, $\varphi^{-1}$ $\circ$ f $\circ$ $\psi$ - гомеоморфизм, а $\mathbb{R}^{n}$ не гомеоморфно $\mathbb{R}^{m}$

Но как раз с последним у меня проблемы. Подскажите, пожалуйста, как это проверить.

[Narn]

Ну, например, если одну точку выкинуть из $\mathbb{R}^n$ и $\mathbb{R}^m$, то гомологии будут разные.

Если вам про (ко)гомологии ничего не говорили и в них лезть не хочется, то можно почитать про топологическую теорию размерности. Есть целые книжки про это, но для вашей задачи вполне достаточно Постникова, "Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия", лекции 8 и 9.

-- Ср май 28, 2014 11:47:31 --

А, подождите, это я на слово "гомеоморфность" среагировал --- ее доказать действительно непросто. А вот недиффеоморфность (а вам именно она и нужна) --- гораздо проще, там кроме стандартного анализа вообще ничего не нужно.

-- Ср май 28, 2014 12:02:35 --

Да и даже к картам переходить не надо: просто возьмите произвольную точку и подумайте, что вы можете сказать про дифференциал диффеоморфизма в этой точке.

[svv]

Jammin в сообщении #868752 писал(а):

при картах $\varphi$ и $\psi$, $\varphi^{-1}\circ f \circ \psi$ - гомеоморфизм

Если $f$ — это что?

[Jammin]

svv в сообщении #868788 писал(а):

Jammin в сообщении #868752 писал(а):

при картах $\varphi$ и $\psi$, $\varphi^{-1}\circ f \circ \psi$ - гомеоморфизм

Если $f$ — это что?

Диффеоморфизм из M в N

Narn в сообщении #868754 писал(а):

Да и даже к картам переходить не надо: просто возьмите произвольную точку и подумайте, что вы можете сказать про дифференциал диффеоморфизма в этой точке.

Ранг диффеоморфизма равен $\min\{m,n\}$?

Deggial: формулы оформляйте $\TeX$ом, иначе тема поедет в Карантин.

[Narn]

Ладно, еще прозрачнее: у диффеоморфизма есть обратный диффеоморфизм, у которого дифференциал является для дифференциала исходного отображения ...чем?

[Jammin]

До меня, кажется, дошло.
Если бы многообразия были диффеоморфны, то мы могли бы $\mathbb{R}^n$ отобразить биективно на $\mathbb{R}^m$, а такого не бывает из линейной алгебры.

[мат-ламер]

Jammin в сообщении #868752 писал(а):

Необходимо проверить, что диффеоморфные многообразия имеют одинаковую размерность.

Я в этом понимаю мало, но мне кажется, диффеоморфизм тут излишен. Гомеоморфные многообразия имеют одинаковую размерность. Гомеоморфизм есть следствие диффеоморфизма.

[ex-math]

Jammin
Биективно можно, но у Вас будет к тому же линейное отображение, а это уже нельзя.
мат-ламер
Выше писали, что с гомеоморфизмом доказывать сложнее.