значит сама проверка размерности абсолютно теряет смысл
Не абсолютно, а в редких специально оговорённых случаях.
идею понял, а под логарифмом почему должны безразмерные величины быть?
А вообще под любым знаком функции должны безразмерные величины быть. Потому что функция вычисляется от числа, а не от размерной величины. Делается это так: под знаком функции величина лишается размерности, путём умножения на подходящий размерный коэффициент (иногда его надо специально подыскать, например, для потенциала - заменить
на
где
- расстояние, на котором потенциал принимается равным нулю). Потом от этого числа берётся функция. И снаружи опять навешивается размерность, другим коэффициентом, подходящим уже под то, что нужно снаружи.
Классический пример:
Все перечисленные детали видны?
Да и вообще все размерности условны(в Тейлоре-Уийлере время вообще в метрах измеряется)они не совсем физичны, так сказать
Доля правды в этом есть. Смысл размерностей "человеческий": помогать человеку контролировать, что он там насчитал в формуле, и не напортачил ли. Отсюда, разные системы могут давать одинаковые или разные размерности для разных величин. Чем ближе к технике и примитивным расчётам по формулам и таблицам, тем больше разных размерностей вводится, и наоборот, чем дальше в теорию, тем размерностей меньше. В первом случае часто "размерными" считаются такие единицы, как угловой градус, мм/км, децибел. Во втором - электрическая ёмкость, оказывается, измеряется в сантиметрах, приравниваются к единице скорость света, постоянная Планка, гравитационная постоянная. Зато возникают новые правила, уже не укладывающиеся в схему физических размерностей: порядок малости величины, ранг тензора, природа и положение индексов... Об этой "человечности" стоит помнить, и ею стоит пользоваться. Если вдруг вам почему-то выгодно различать две величины и не смешивать их, сделайте их разной размерности, и получите средство самоконтроля.