"Кулоновский" потенциал одиночного события

[EvilPhysicist]

Time в сообщении #866129 писал(а):

Переход от ортонормированной системы координат на двумерной псевдоевклидовой плоскости к псевдоевклидовому аналогу полярной системы координат - вы считаете а'приори бессмысленной вещью?

Не совсем. Повторять ваши не несущие содержания выкладки я считаю априори бессмысленной вещью.

Time в сообщении #866129 писал(а):

Вы уверены, что оправданно считаете себя специалистом по СТО?

Уверен.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #866126 писал(а):

С самого начала не очевидно, что в различных пространствах одни и те же уравнения будут давать разные решения?

Ему - нет. Он вообще ничего не понимает в математике.

-- 21.05.2014 19:13:25 --

Time в сообщении #866129 писал(а):

Вы уверены, что оправданно считаете себя специалистом по СТО?

В любом случае, он в 1000 раз больше специалист по СТО, чем вы.

[g______d]

Time в сообщении #866111 писал(а):

а в фундаментальности последнего, надеюсь, ни кто не сомневается...

Time в сообщении #866111 писал(а):

оно, на мой взгляд, является не менее фундаментальным

Опять пошли словесные определения. Эти фразы абсолютно никакого смысла не несут. Фундаментальное решение назвали фундаментальным не потому, что оно выделяется среди остальных, а потому что с помощью него можно получить решение с любой правой частью (с помощью свёртки). Решение с четырьмя $\delta$-функциями позволяет работать с любой правой частью, решение из Гельфанда-Шилова – только с лоренц-инвариантной.

Дальнейший разговор будет иметь смысл, когда продемонстрируете знакомство с фундаментальными решениями на уровне стандартных учебников; в частности, что обозначают все буковки в Гельфанде-Шилове.

[Time]

g______d в сообщении #866220 писал(а):

Фундаментальное решение назвали фундаментальным не потому, что оно выделяется среди остальных, а потому что с помощью него можно получить решение с любой правой частью (с помощью свёртки). Решение с четырьмя $\delta$-функциями позволяет работать с любой правой частью, решение из Гельфанда-Шилова – только с лоренц-инвариантной.

Это хорошо, когда Вы знаете, что конкретно стоИт в правой части. А если не знаете? Именно это имеет место в случае того решения уравнения Даламбера для четырехмерного пространства-времени, которое имеет вид:
$f(S)=c_0+\frac{c_1}{S^2}$
Если мне именно это решение нужно и я не знаю, какая правая часть к нему приводит? Как быть?
Кроме того, Вы так и не ответили на вопрос, с какой физической интерпретацией могло бы быть связываемо соответствующее решение?

[SergeyGubanov]

Time в сообщении #865992 писал(а):

$S$- интервал пространства Минковского. Если от ортонормированных координат последнего $(t,x,y,z)$ перейти к центрально симметричным координатам $(S,a,b,c)$, где $a,b,c$- гиперболические углы, переписать волновое уравнение в этих новых координатах и затем учесть, что ищется решение не зависящие от углов, а только от интервала то останется:
$\frac{1}{S^3} \frac{\partial}{\partial S} \left( S^3 \frac{\partial f}{\partial S} \right) = 0$

Ага, так я и подумал, но решил на всякий случай уточнить.

Делаем замену координат:

$$ ct = S \cosh( \chi ) $$

$$ x = S \sinh (\chi) \sin(\theta) \cos(\varphi); $$

$$ y = S \sinh (\chi) \sin(\theta) \sin(\varphi); $$

$$ z = S \sinh (\chi) \cos(\theta); $$

$$ S = \sqrt{c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2} $$

Получаем метрику:

$$ ds^2 = dS^2 - S^2 \left( d\chi^2 + \sin(\chi)^2 \left( d \theta^2 + \sin(\theta)^2 d \varphi^2 \right) \right) $$

Мера:

$$ \sqrt{-g} = S^3 \sin(\theta) \sinh(\chi)^2 $$

Соответственно, для функции зависящей только от $S$ уравнение Д'Аламбера получается как раз таким как Вы написали.

Я так делал недавно, но только для уравнения Клейна-Гордона (post839377.html#p839377, post839493.html#p839493)

EvilPhysicist в сообщении #866094 писал(а):

Для справки, четырехмерное уравнение Лапласа для точечного источника в правой части в сферической системе координат это
$ \cfrac{\partial f}{\partial t^2} - \cfrac{1}{r^2} \cfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \cfrac{\partial f}{\partial r} \right) - r^2 \Delta_{\theta \vaprhi} f = \delta(t) \delta(r) \delta(\theta) \delta(\varphi) $
а не то, что вы написали.

Вы забыли разделить правую часть на меру $\sqrt{-g}$, которая в сферических координатах не равна единице:

$$ \delta(x)\delta(y)\delta(z) = \frac{\delta(r) \delta(\theta) \delta(\varphi)}{r^2 \sin(\theta)} $$

$$ dx \, dy \ dz = r^2 \sin(\theta) \, dr \, d\theta \, d\varphi $$

И то что вы написали имеет отношения не к этой теме, Time просто ищет решения вида $f \left( \sqrt{c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2} \right)$ и получает ответ:

$$ f = \operatorname{const}_1 + \frac{\operatorname{const}_2}{c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2}. $$

Time в сообщении #866307 писал(а):

с какой физической интерпретацией могло бы быть связываемо соответствующее решение?

Полученное решение можно использовать в качестве своеобразной функции распространения:

$$ \Phi(t,x,y,z) = \int \frac{J(t',x',y',z')}{c^2 (t-t')^2 - (x-x')^2 - (y-y')^2 - (z-z')^2} dt' dx' dy' dz', $$

здесь $J(t',x',y',z')$ - какая-то произвольная функция, при этом функция $\Phi(t,x,y,z)$ - будет решением уравнения Д'Аламбера.

[Time]

SergeyGubanov в сообщении #866310 писал(а):

Соответственно, для функции зависящей только от $S$ уравнение Д'Аламбера получается как раз таким как Вы написали.

Да, все именно так. Правда, я имел ввиду несколько иной вариант тройки углов. Он более симметричен (все три гиперболические и равноправные), но поскольку рассматривается решение, не зависящее от углов, это не принципиально. Главное, что "радиальная" (радиус-вектора в виде интервала) часть одна и та же.. В таком решении есть два замечательных свойства. Оно не требует знания, что именно стоИт в правой части, это отслеживается автоматически (кстати, точно такая же ситуация имеет место в случае точечного источника в четырехмерном евклидовом пространстве, где так же можно обойтись без дельта-функций). И второе свойство - такие решения в двух-, трех- и четырехмерном псевдоевклидовом пространстве-времени полностью соответствуют кулоновским потенциалам $f(R)$ в соответствующих по размерности евклидовых пространствах. Иными словами, такие потенциалы $f(S)$ в пространстве Минковского можно рассматривать как псевдоевклидовы аналоги точечных зарядов в евклидовых пространствах, со всеми вытекающими последствиями... Среди которых и суперпозиция потенциалов, и взаимодействие нескольких источников, и их характеристики, являющиеся гиперболическими аналогами взаимодействий обычных пространственных зарядов.
Впрочем, все это меня не сильно интересует. Я заговорил об этих решениях, имея ввиду аналогичные потенциалы в более хитром четырехмерном пространстве, а именно, с псевдофинслеровой метрикой Бервальда-Моора. Однако, теперь совершенно очевидно, что в эту сторону лучше даже не заводить разговор. Если с обычным пространством Минковского столько криков, то при попытке говорить о финслеровых метриках пространства-времени, меня вообще с дерьмом смешают..

SergeyGubanov в сообщении #866310 писал(а):

И точно вы написали имеет отношения не к этой теме, Time просто ищет решения вида $f \left( \sqrt{c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2} \right)$ и получает ответ:

$$ f = \operatorname{const}_1 + \frac{\operatorname{const}_2}{c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2}. $$

Именно так.
Может Вы мне ответите на вопрос: "Известны ли Вам попытки физических интерпретаций таких решений?" Например, как потенциалов эдаких пространственно-временных "зарядов", носителями которых являются не обычные частицы, как это имеет место для аналогичных решений в евклидовых пространствах, а, если так можно выразиться, как потенциалов материальных событий (это понятие можно рассматривать как пространственно-временной аналог материальной точки), имеющие сингулярности не в точке, а на всем световом конусе.
Дело в том, что если допустить мысль о подобной "зарядовой" интерпретации таких решений - открывается необычный вариант и для многих других физически осмысленных следствий. В частности, для таких пространственно-временнЫх "зарядов" можно определить понятия аналогичные обычным: напряженности поля, энергии взаимодействия, плотности энергии поля, работы по "смещению" заряда, силы и т.д. и т.п. Все это, естественно, не буквальные аналоги, но сходство очень серьезное..

[g______d]

Time в сообщении #866307 писал(а):

Если мне именно это решение нужно и я не знаю, какая правая часть к нему приводит?

К этому решению приводит нулевая правая часть и требование лоренц-инвариантности, вы же сами это и написали, хоть и коряво.

Time в сообщении #866307 писал(а):

Кроме того, Вы так и не ответили на вопрос, с какой физической интерпретацией могло бы быть связываемо соответствующее решение?

Разберитесь с понятием фундаментального решения. Может быть, и вопрос отпадет.

[Time]

g______d в сообщении #866316 писал(а):

К этому решению приводит нулевая правая часть и требование лоренц-инвариантности, вы же сами это и написали, хоть и коряво.

Похоже, Вы сами не сильно разбираетесь с фундаментальными решениями. Нулевой правая часть для уравнения Даламбера оказывается только в центрально симметричной системе координат и только для одиночного источника, то есть, когда и уравнение, и решение не зависят от углов, а только от "радиус-вектора" $S$ в виде интервала от точки расположения источника до рассматриваемой точки. Если уравнение (даже записанное для единственного центрально симметричного источника) рассматривается в другой системе координат - правая часть не остается нулевой. В ней должны появляться дельта-функции, причем не только в точке, но и распределенные по проходящему через нее изотропному конусу. И это распределение дельта-функций для рассматриваемого выше решения пока не известно. Я надеялся, что Вы знаете, как решить эту задачу, но Вам, похоже, больше нравится просто поучать.
Еще раз повторю, что точно такая же ситуация имеет место и с одиночным источником для уравнения Лапласа в евклидовых пространствах разного числа измерений. Центрально-симметричная система координат (там ее все называют сферической) и задача решения уравнения Лапласа для одиночного точечного источника приводят к зависимости лапласиана только от радиус-вектора и в случае, когда источник рассматривается в начале координат, связанная с ним сингулярность в виде дельта-функции формально исчезает.
Я думал Вы это знаете..
Может я для Вас и коряво изъясняюсь, но я предлагаю идею. Вы же - в основном ругаетесь..

g______d в сообщении #866316 писал(а):

Разберитесь с понятием фундаментального решения. Может быть, и вопрос отпадет.

Не отпадет. А Вам так же нужно во многом еще самому разобраться..

[g______d]

Нет уж, извините. Фундаментальное решение что для оператора Лапласа, что для Даламбера – это такая обобщенная функция, что при применении к ней оператора Лапласа или Даламбера получится $\delta$-функция. В случае уравнения Лапласа рассматриваются только $\delta$-функции с носителем в точке, в случае Даламбера, в зависимости от целей, можно рассматривать носитель в точке или на световом конусе.

Вне носителя $\delta$-функции результат применения оператора к фундаментальному решению равен нулю просто по определению.

[Time]

SergeyGubanov в сообщении #866310 писал(а):

Полученное решение можно использовать в качестве своеобразной функции распространения:

$$ \Phi(t,x,y,z) = \int \frac{J(t',x',y',z')}{c^2 (t-t')^2 - (x-x')^2 - (y-y')^2 - (z-z')^2} dt' dx' dy' dz', $$

здесь $J(t',x',y',z')$ - какая-то произвольная функция, при этом функция $\Phi(t,x,y,z)$ - будет решением уравнения Д'Аламбера.

Не заметил вчера этого абзаца...
Да, совершенно с Вами согласен. Сумма отдельных решений такого типа так же оказывается решением. (И почему бы на основании этого, такое решение так же не называть фундаментальным?) Тут работает принцип суперпозиции "зарядов". Как и с привычными зарядами евклидовых пространств.
Меня интересует вопрос, известны ли Вам примеры попыток физической интерпретации как "одиночного" решения:
$f(S)=c_0+\frac{c_1}{S^2}$,
так и "составных" решений из него в виде суммы взаимодействующих "зарядов"? И кто как пробовал интерпретировать связанное с такими "зарядами" поле?

[g______d]

Time в сообщении #866328 писал(а):

В ней должны появляться дельта-функции, причем не только в точке, но и распределенные по проходящему через нее изотропному конусу. И это распределение дельта-функций для рассматриваемого выше решения пока не известно.

Вы Гельфанда-Шилова вообще открывали? Что будет, если применить оператор Даламбера к решению, на которое я давал ссылку?

-- Ср, 21 май 2014 21:00:40 --

Time в сообщении #866328 писал(а):

и в случае, когда источник рассматривается в начале координат, связанная с ним сингулярность в виде дельта-функции формально исчезает.

Это, кстати, враньё, никуда она не исчезает.

А про нулевую правую часть мной было сказано только потому, что ваше решение рассматривалось только в области $S>0$, в которой правая часть была равна нулю.

[Time]

g______d в сообщении #866329 писал(а):

Нет уж, извините. Фундаментальное решение что для оператора Лапласа, что для Даламбера – это такая обобщенная функция, что при применении к ней оператора Лапласа или Даламбера получится $\delta$-функция.

Это просто формальное определение. И если для оператора Лапласа оно оказывается удобным и работоспособным как для математиков, так и для физиков, то в случае оператора Даламбера все не так просто и удобно. Именно это желание видеть и в случае псевдоевклидова пространства в качестве фундаментального решения функцию, которая при применении к ней оператора Даламбера дает дельта-функцию в точке, в конце концов, привело к упорному не желанию Вас и других заинтересованных лиц к игнорированию тех решений, которые я назвал аналогами кулоновских потенциалов в псевдоевклидовом пространстве-времени. Сами по себе эти решения в общем-то ерунда. Не ерунда наступает, когда задаешься вопросом (и конструктивно решаешь его): "Что это за "заряды" такие являются носителями данных потенциалов и какое физическое поле они порождают?" То, как к вопросу фундаментального решения уравнения Даламбера с источником в правой части подошли Вы (и практически все остальные) - не порождает конструктивных физических интерпретаций. И уже за одно это "Ваше" фундаментальное решение следовало бы разжаловать до "рядовых", а то и вообще, до "врагов народа".

g______d в сообщении #866329 писал(а):

Вне носителя $\delta$-функции результат применения оператора к фундаментальному решению равен нулю просто по определению.

Вы изрекаете банальные вещи. И они не отменяют аналогичных свойств решения:
$f(S)=c_0+\frac{c_1}{S^2}$. Хоть и с незначительными нюансами, заключающимися в том, что сингулярная особенность данного решения не сосредоточена в точке, а распределена по изотропному конусу.

[g______d]

Time в сообщении #866333 писал(а):

Хоть и с незначительными нюансами, заключающимися в том, что сингулярная особенность данного решения не сосредоточена в точке, а распределена по изотропному конусу.

Так и есть. Более того, это тоже является банальной вещью (с точностью до выбора регуляризации) и написано в Гельфанде-Шилове, которого я уже в третий раз предлагаю вам хотя бы открыть.

-- Ср, 21 май 2014 21:15:54 --

Time в сообщении #866333 писал(а):

которая при применении к ней оператора Даламбера дает дельта-функцию в точке

Кто сказал в точке? В четвертый раз предлагаю открыть Гельфанда-Шилова. Или как минимум моё высказывание цитировать полностью.

-- Ср, 21 май 2014 21:21:21 --

Time в сообщении #866333 писал(а):

к игнорированию тех решений, которые я назвал аналогами кулоновских потенциалов в псевдоевклидовом пространстве-времени.

Никто их не игнорировал, есть много работ про лоренц-инвариантным обобщённым функциям.

[Time]

g______d в сообщении #866331 писал(а):

Вы Гельфанда-Шилова вообще открывали? Что будет, если применить оператор Даламбера к решению, на которое я давал ссылку?

Вы, как часто это делают математики, на конкретный вопрос ответили "в общем виде". А меня интересует именно конкретный вопрос. Какое именно распределение дельта-функций в точке и на световом конусе приводят к решению уравнения Даламбера вида:
$f(S)=c_0+\frac{c_1}{S^2}$?
Если Вы знаете, то ответьте, пожалуйста, на этот вопрос. Только конкретно, а не в "общем виде".
Говоря о том, что соответствующее распределение по конусу "пока не известно" - я имел ввиду себя, а не математиков, знающих все в самом общем случае. Поделитесь пожалуйста конкретным видом распределения для конкретного решения, а не тыкайте в общего вида формулу.

g______d в сообщении #866331 писал(а):

Это, кстати, враньё, никуда она не исчезает.

А про нулевую правую часть мной было сказано только потому, что ваше решение рассматривалось только в области $S>0$, в которой правая часть была равна нулю.

Я Вам и указал на ошибочность утверждения, что правая часть исчезла. И я прекрасно понимаю, что она просто осталась там, где $S=0$. Это просто прием, но он позволил мне обойти мое незнание конкретного вида распределения особенности по изотропному конусу. Жду от Вас конкретного ответа на вопрос, каково же это распределение на самом деле для интересующего меня конкретного решения.

[g______d]

Time в сообщении #866336 писал(а):

Жду от Вас конкретного ответа на вопрос, каково же это распределение на самом деле для интересующего меня конкретного решения.

С точностью до множителя, $\delta$-функция, сосредоточенная на световом конусе. Обобщённая функция, действие которой на пробную бесконечно гладкую функцию с компактным носителем равно интегралу этой пробной функции по световому конусу.