Предел. Как выбрать δ(ε) в данном случае?

[Tosha]

Нужно доказать, что $\displaystyle\lim_{x\to 2}x^2=4$

По определению предела.

$$\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right)>0 ~ \forall x \colon 0 < \left| x - x_0 \right| < \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$$

Попробуем найди $\delta(\varepsilon)$.

$$|x^2-4|<\varepsilon \Leftrightarrow -\varepsilon +4<x^2<\varepsilon +4 \Leftrightarrow -\sqrt{4+\varepsilon}<x<\sqrt{4+\varepsilon} \;\;\;\land\;\;\;x<\sqrt{4-\varepsilon} $$

$|x-2|<\delta \Leftrightarrow 2-\delta<x<2+\delta$

Можно ли в качестве дельта взять $\delta =\sqrt{4-\varepsilon}-2$?

[iifat]

Tosha в сообщении #866041 писал(а):

$-\varepsilon +4<x^2<\varepsilon +4 \Leftrightarrow -\sqrt{4+\varepsilon}<x<\sqrt{4+\varepsilon}$

Неправда.

Tosha в сообщении #866041 писал(а):

Можно ли в качестве дельта взять

Всё можно, что сумеете довазать. Попробуйте.

[Tosha]

iifat в сообщении #866059 писал(а):

Tosha в сообщении #866041 писал(а):

$-\varepsilon +4<x^2<\varepsilon +4 \Leftrightarrow -\sqrt{4+\varepsilon}<x<\sqrt{4+\varepsilon}$

Неправда.

Tosha в сообщении #866041 писал(а):

Можно ли в качестве дельта взять

Всё можно, что сумеете довазать. Попробуйте.

Почему неправда? Вы же неполностью скопировали.

[arseniiv]

Вы неправильно решили неравенство. Посмотрите более простое: $a<x^2<b$.

[provincialka]

Вообще говоря, если быть точным, для доказательства непрерывности квадрата нельзя использовать свойства корня. Потому что само существование корня (обратной функции) доказывается через свойства квалрата.
Есть способ линеаризовать неравенство и не мучиться с квадратными неравенствами.

[iifat]

Не понял. При чём тут свойства корня? Уравнение $a<x^2<b$ вполне решабельно без привлечения криминальных методов.

[mihailm]

Корень еще не изобрели

[iifat]

Ну и что с того? Вы правда без изобретения корня неравенство не решите?

[arseniiv]

mihailm в сообщении #866152 писал(а):

Корень еще не изобрели

Из промежутков монотонности, чётности и некоторых других «простых» свойств квадрата всё нужное ведь можно найти.

[provincialka]

Меня уже ругали за занудство . Но вообще говоря, выражению $\sqrt {4-\varepsilon }$ надо еще придать смысл. Например, что такое $\sqrt {3,99}$? Это некий предел, существование которого надо еще доказать. Используя как раз непрерывность (и даже равномерную).
Но даже и без этого, линеаризованное неравенство решать легче.