Уравнение длины дуги спирали Архимеда

[snorlax212]

Доброго времени суток. Дано уравнение вычисления длины дуги спирали Архимеда:

$L=\frac{k}{2}(\varphi\sqrt{1+\varphi^2}+\ln(\varphi+\sqrt{1+\varphi^2})) $

Вопрос: можно ли его решить аналитически относительно угла $\varphi$? Если да, то в какую сторону копать и как вообще называются уравнения такого типа?

[Ms-dos4]

snorlax212
Аналитически нельзя. Да и зачем это вам? (если уж так надо, решайте численно).

[Алексей К.]

Ms-dos4 в сообщении #864861 писал(а):

Да и зачем это вам?

Как зачем?
Для такой простой кривой хочется получить достаточно простое (соотв., красивое) натуральное уравнение. Ан нет, не получается.

Кривые ведь используют не только при вытачивании кулачков для ТетраПаковских машинок (там --- да, всё решат численно и не будут париться на форумах).

С иной кривой приятно посидеть на балконе, полюбоваться уравнениями, испивая при этом бокал розового анжуйского. Тоже достойное применение. Ну, может только для тех, кто лишён музыкального слуха, и вместо Бетховена включает кривую. К анжуйскому. Но нас, таких, всё же есть несколько...

[Skeptic]

Может быть так?

Уравнение спирали Архимеда $R=k\varphi$. Длина дуги $L=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} \sqrt{1+R'^2}d\varphi$,

$$L=\varphi \sqrt{1+k^2}$$

[Ms-dos4]

Skeptic

1)Вы видимо длину дуги в полярных координатах считать не умеете
2)Длина дуги уже найдена, ТС хочет другое.

[Алексей К.]

Skeptic,

при рассматривании формулы полезно иметь в виду размерности входящих в неё величин.
Увидевши $1+k^2$ с таким $k$, или $1+{R'}^2_{\!\!(\varphi)}$, следует сразу ужаснуться удивиться и начать чесать репу.

Это типа совет, по-моему, весьма полезный.

[Skeptic]

Я начал своё сообщение с вопроса, а вы, нет чтобы подсказать - сразу накинулись.

Математически мои вычисления верны. Но вопрос: какую длину я получил?

В Википедии, где выводится выражение $L=\frac{k}{2}(\varphi\sqrt{1+\varphi^2}+\ln(\varphi+\sqrt{1+\varphi^2}))$ используется тот же математический аппарат, только с ошибками.

Ms-dos4, вы будете правы, если по форме написания определите в каких координатах записана функция $y=x^2$, где $0<x<6.283$, и покажите, как определить длину дуги в декартовых координатах.

Алексей К., чем вам не нравится размерность $\sqrt{1+k^2} $? А какова размерность $\sqrt{1+\varphi^2}$?
Определите размерность выражения в скобках $\varphi\sqrt{1+\varphi^2}+\ln(\varphi+\sqrt{1+\varphi^2})$?
Это то же типа совет, и, по-моему, не менее полезный.

[ИСН]

Да бог с ней, с размерностью. Интеграл у Вас не такой, вот что.

[svv]

Skeptic в сообщении #865191 писал(а):

$0<x<6.283$

Типа до двух пи.

[Алексей К.]

Skeptic в сообщении #865191 писал(а):

Это то же типа совет, и, по-моему, не менее полезный.

Это глупости. Вы не понимаете простых вещей и лезете в бутылку.

Возьмите спираль Архимеда, полярный радиус которой при повороте на $2\pi$ увеличивается от нуля до 6.283 см. Определите $k$, и сосчитайте её длину по своей формуле.

Потом возьмите спираль Архимеда, полярный радиус которой при повороте на $2\pi$ увеличивается от нуля до 62.83 мм. Определите $k$, и сосчитайте её длину по своей формуле.

Сравните результаты.

Впрочем, с таким упрямым нежеланием почесать репу Вы и тут, наверное, найдёте отмазки.

[_Ivana]

Skeptic в сообщении #865191 писал(а):

Но вопрос: какую длину я получил?

Я в свое время признал ошибку и выкрутился

[arseniiv]

(Оффтоп)

Skeptic в сообщении #865191 писал(а):

а вы, нет чтобы подсказать - сразу накинулись

Ну вы ж не ТС! Вам низзя подсказывать в этой теме.

[Skeptic]

(Оффтоп)

Удобная позиция: отвечать только на вопросы ТС, а всех других упрекать в незнании без объяснения.

Спасибо за отзывчивость. Разобрался самостоятельно, но остаток остался. Конечно, бог с ней размерностью. Но всё же, какова размерность $L=\frac{k}{2}(\varphi\sqrt{1+\varphi^2}+\ln(\varphi+\sqrt{1+\varphi^2}))$, если $\varphi$ в градусах?

[Ms-dos4]

Skeptic
$\[\varphi \]$ всегда измеряется в радианах (т.е. безразмерно)

[arseniiv]

И даже если в градусах, безразмерна, зато формула усложнится.

(Оффтоп)

Skeptic в сообщении #865566 писал(а):

Удобная позиция: отвечать только на вопросы ТС, а всех других упрекать в незнании без объяснения.

Удобная, а ещё она сочетается с призывом из правил форума не разводить оффтоп, а открывать вместо него свои темы.