Несобственный интеграл первого рода

[inky]

Читал в книжке В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов Математический анализ про несобственные интегралы первого рода и наткнулся вот на это:

Цитата:

Например, интеграл $\int_{0}^{+\infty} f(x) dx$, где функция $f(x)$ равная нулю для всех нецелых $x$ и равна $n$ при $x=n$, где $n$ - целое число, очевидно, сходится, хотя подынтегральная функция не ограничена.

Почему же он сходится? Я помню что в этой же книге доказывалось, что функция Дирихле не интегрируется. А ведь функция, приведенная в примере, похожа на функцию Дирихле - где то она равна нулю, а где то целому числу.
До этого давалось определение сходимости по критерию Коши.

[ewert]

inky в сообщении #865461 писал(а):

Почему же он сходится? Я помню что в этой же книге доказывалось, что функция Дирихле не интегрируется.

Начните с обдумывания вот чего: что называется сходимостью и что -- интегрируемостью?...

[inky]

В случае, если существует предел $\lim_{A \rightarrow +\infty} \int_{0}^{A} f(x) dx$, то наша функция сходится. Но это еще и означает, что мы можем, например, найти определённый интеграл $\int_{0}^{9} f(x) dx$. Но ведь это же как в случае с функцией Дирихле - выбирая в качестве промежуточных значений в интегральной сумме нецелые числа получаем ноль, а выбирая целые, где это возможно, получаем число отличное от нуля.

[kp9r4d]

В вашей цитате $f$ — не функция Дирихле.

[ewert]

inky в сообщении #865466 писал(а):

выбирая в качестве промежуточных значений в интегральной сумме

Интегральные суммы не имеют никакого отношения к понятию сходимости.

[inky]

Хорошо, тогда попробую по критерию Коши сходимости несобственного интеграла:

Цитата:

Для сходимости несобственного интеграла $\int_{a}^{+\infty} f(x)dx$ необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon > 0$ можно было указать такое $B > a$, что для любых $A_1$ и $A_2$ превосходящих $B$,

$$\left| \int_{A_1}^{A_2}f(x)dx \right| < \varepsilon$$

Возьмем $\varepsilon = 1$, и подставим в определение нашу функцию (которая равняется нулю при нецелых $x$ и равняется $x$ если оно целое), и допустим мы нашли такое $B$. Я не понимаю как можно проинтегрировать эту функцию.

[kp9r4d]

А вы понимаете чему равно $\int_0^{10} f(x) dx$ например?

[ИСН]

inky, Вы смешиваете два факта: (1) как может сходиться интеграл до бесконечности и (2) как можно проинтегрировать эту функцию хотя бы с 0 до 9. Первый ко второму не имеет никакого отношения. Какой Вам непонятен?

[inky]

kp9r4d в сообщении #865472 писал(а):

А вы понимаете чему равно $\int_0^{10} f(x) dx$ например?

Нет.... я пытался интегральными суммами посчитать, но там как я и писал, получается как то не так. А может надо постараться написать эту функцию одной формулой?

ИСН в сообщении #865473 писал(а):

inky, Вы смешиваете два факта: (1) как может сходиться интеграл до бесконечности и (2) как можно проинтегрировать эту функцию хотя бы с 0 до 9. Первый ко второму не имеет никакого отношения. Какой Вам непонятен?

Мне бы для начала разобраться со вторым.

[kp9r4d]

inky в сообщении #865474 писал(а):

Нет.... я пытался интегральными суммами посчитать, но там как я и писал, получается как то не так.

Должно получаться как-то так.

[inky]

Если брать от нуля до десяти: нижняя сумма всегда ноль, а верхняя 55. Если измельчить разбиение до того, что останется только одна точка в каждом промежутке, то получается определенный интеграл равен 55. Так?

[kp9r4d]

inky в сообщении #865486 писал(а):

Если измельчить разбиение до того, что останется только одна точка в каждом промежутке, то получается определенный интеграл равен 55. Так?

Не так. Разбиение должно состоять из конечного числа отрезков. То что предел интегральных сумм при стремящимся диаметре разбиения к нулю стремится куда-то значит всего лишь то, что для любого $\varepsilon>0$ найдётся $\delta>0$... Ну и далее по тексту.

[_Ivana]

inky, давайте честно, руками посчитаете значения верхних интегральных сумм для вашего интеграла от 0 до 10 при трех равномерных разбиениях - с шагом сетки, равным $1, 0.5, 0.1$, первый узел сетки в нуле. И выпишите их сюда.

[inky]

_Ivana спасибо, кажется я понял...интеграл получается равным нулю, да?
При диаметре равном 1 получается 55, при 0.1 - уже 5.5. Когда диаметр разбиения стремится к нулю, то и верхняя сумма стремится к нулю.
Забыл что на длину промежутка умножать еще надо, поэтому запутался
Теперь все понятно, спасибо.

[kp9r4d]

inky
Кстати, а вы ведь знаете, что определенный интеграл — это площадь под графиком функции? Вам разве не кажется естественным, что функции, отличающиеся лишь в конечном множестве точек должны эту площадь иметь одинаковую? Ведь по сути изменения конечного числа точек у функции изменяет лишь конечное число «бесконечно тонких» столбиков.