Функциональное равенство

[kp9r4d]

Пусть $f,\varphi$ — дифференцируемые функции $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, для которых выполняется тождество
$f(\alpha x) = \varphi(\alpha) f(x)$, доказать, что $\varphi(\alpha)=\alpha^d$ .
Задачу увидел достаточно давно, но так в ней и не продвинулся.

[provincialka]

А что пробовали? Чтобы нам не изобретать велосипед
Кстати, нужны все-таки какие-нибудь ограничения на $f$. например, если $f$ тождественно равно 0, то $\varphi$ - любая функция.

[kp9r4d]

Да ничего особенного. Если обе функции дифференцируемы, то можно их продифференцировать, отсюда получаются равенства вроде
$f'(\alpha x) (\alpha + x) = \varphi' f + \varphi f'$
$f'(\alpha x) x = \varphi' f$
$f'(\alpha x) \alpha = \varphi f'$
Далее, положив $x=0$ можно увидеть, что либо $f(0) = 0$, либо $\varphi(\alpha) \equiv 1$.
Очевидно, что $\varphi(\alpha) f(x) = f(\alpha) \varphi(x)$.
Положив $\alpha = 1$ можно увидеть, что $\varphi(1) = 1$, либо $f \equiv 0$.
Положив $\alpha = 0$ можно опять же увидеть, что либо $f(x) \equiv 1$, либо $\varphi(0)=0$.

-- 17.05.2014, 12:42 --

provincialka в сообщении #864315 писал(а):

Кстати, нужны все-таки какие-нибудь ограничения на $f$. например, если $f$ тождественно равно 0, то $\varphi$ - любая функция.

Действительно. В формулировке задачи об этом ничего не сказано, но будем считать, что $f \neq 0$
Даже лучше $f \neq \operatorname{const}$.

[provincialka]

При решении функциональных уравнений полезно бывает придать переменным конкретные значения. Например, положим $x=1$, получим равенство $f(\alpha) = \varphi(\alpha) f(1)$. Положим $f(1)=C$, тогда $f(x)=C\varphi(x)$. Если $C$ не равно 0, мы можем избавиться в исходном равенстве от функции $f$. Получаем, что $\varphi(\alpha x) = \varphi(\alpha) \varphi(x)$. А это уравнение довольно известное. Его можно свести к уравнению Коши
Причем дифференцируемость вроде и ни к чему. Важнее непрерывность и знаки функции.

[kp9r4d]

provincialka
Спасибо, всё понятно.

[Otta]

Дифференцируемость - для большего простора в средствах. Так дополнительные способы решения появляются. Не требующие спецсредств.