Задача по ОТО.

[Roman_K]

Кто немного знает ОТО? Помогите решить/разобраться, пожалуйста.
Формула для тензора энергии-импульса $T^{\mu\nu}=(p+\rho)u^{\mu}u^{\nu}-g^{\mu\nu}p$
Нужно получить формулу $(p+\rho)(\nabla_{\nu}u_{\mu})u^{\nu}=-\partial_{\mu}p-\partial_{\nu}pu^{\nu}u_{\mu}$
Из условия, что $\nabla_{\nu}T^{\mu\nu}=0$

Что, собственно не получается. Начинаю тупо в лоб брать ковариантную производную от тензора ЭИ, и всё вроде бы неплохо:
$\nabla_{\nu}T^{\mu\nu}=\rho\nabla_{\nu}(u^{\mu}u^{\nu})+\nabla_{\nu}(pu^{\mu}u^{\nu})-\nabla_{\nu}(pg^{\mu\nu})$
$\nabla_{\nu}(pg^{\mu\nu})=g^{\mu\nu}\partial_{\nu}p$ (ковариантная производная от метрики = о, ковариантная производная от скаляра - обычная производная)
$\nabla_{\nu}(pu^{\mu}u^{\nu})=\partial_{\nu}pu^{\mu}u^{\nu}+p\nabla_{\nu}(u^{\mu}u^{\nu})$
И теперь пишу и подставляю $\nabla_{\nu}(u^{\mu}u^{\nu})=(\nabla_{\nu}u^{\mu})u^{\nu}+u^{\mu}(\nabla_{\nu}u^{\nu})$
И всё бы сошлось (ну ещё $\mu$ опустить везде), если бы не слагаемое $(\nabla_{\nu}u^{\nu})$. Ощущение, что оно должно зануляться.
Так ли это, зануляется ли оно? Если да, то почему? Если нет, то что я делаю не так?
Спасибо!

[Munin]

Это дивергенция поля 4-скоростей среды.

[Roman_K]

Munin, спасибо за ответ. А она равна нулю? Хочется её как-то проинтегрировать по бесконечному объёму, чтоб занулить, может, я бред сейчас сказал.
Не понимаю, как от неё избавится. А в целом правильно изначально делаю, как думаете?

[warlock66613]

Roman_K в сообщении #862986 писал(а):

А она равна нулю?

Вы гидродинамику (ещё) не учили или настолько забыли?

[Roman_K]

warlock66613 Понял, это уравнение непрерывности.

[Munin]

Roman_K в сообщении #862986 писал(а):

Хочется её как-то проинтегрировать по бесконечному объёму

Проинтегрируйте её по конечному объёму, и примените теорему Гаусса. Если получится не нуль - значит, где-то в середине частицы бесследно пропадают. Вы нашли Бермудский Треугольник :-)

[Roman_K]

Munin, спасибо!

[SergeyGubanov]

Уравнение непрерывности среды, вообще-то, включает плотность среды:

$$ \nabla_{\mu} ( \rho u^{\mu} ) = 0 $$

[Munin]

А здесь не уравнение непрерывности среды.

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #863210 писал(а):

$$ \nabla_{\mu} ( \rho u^{\mu} ) = 0 $$

Но в данном случае $\nabla_{\mu} \rho= 0$, поэтому и.