Координата, время, скорость, ускорение

[Dr.RichardFeynman]

Товарищи, прошу четкого и ясного ответа.
Производная от координаты = скорости, производная от скорости = ускорение. Для проямолинейного равноускоренного движения вторая производная - максимальная, т.к. степень у времени равна 2.
Мы получим что-нибудь если найдем интеграл от координаты? Т.е. ясно, что мы получим площадь фигуры под графиком на интервале, но имеет ли это физический смысл?
Спасибо.

[Munin]

Нет, ровно ничего не получим.

Но вот производные можно брать и дальше. Третью производную, четвёртую, и так далее. У них даже иногда есть названия (часто встречается для третьей производной - "рывок"), но редкие и неустоявшиеся. И никому они особо не нужны.

Самое важное здесь - это то, что для механики, по сути, не нужны все эти высшие производные. Механика может обойтись только первой и второй производной. Вторая производная - ускорение - связывается с силой, по 2 закону Ньютона:

$$m\vec{r}^{\,\prime\prime}(t)=\vec{F}(\vec{r}^{\,\prime}(t),\vec{r}(t),t).$$

Таким образом, получается уравнение, которое позволяет вычислить вторую производную по известным первой и нулевой. Из второй производной, с течением времени, получается новая первая производная, а из первой, с течением времени, - новая нулевая - то есть, собственно положение. Получается замкнутая система (дифференциальное уравнение второго порядка), которую можно полностью решить, если задать все условия: зависимость $\vec{F}(\vec{r}^{\,\prime}(t),\vec{r}(t),t)$ и начальные условия $\vec{r}^{\,\prime}(t_0),\vec{r}(t_0).$ Очень важно, что любая физическая теория должна в конечном счёте из отдельных законов собирать подобную замкнутую математическую систему. Например, в геометрической оптике аналогичную роль играют законы преломления и отражения света (или принцип Ферма), в волновой оптике - например, принцип Гюйгенса, в электромагнетизме - уравнения Максвелла.

Интересно, что во всей физике такие математические уравнения - обычно требуют производной не выше второй. Иногда (сравнительно редко) встречаются третьи производные, и производные до бесконечного порядка - тогда используются другие способы решения.

[Sicker]

нет не имеет
ну только если как пути, которое прошло тело с соответствующей скоростью(численно равной координате прообразного тела)
а так даже размерности не сходятся

(Оффтоп)

меня уже опередили

[_Ivana]

Предыдущие ораторы всё правильно ответили. Особенно, учитывая школьный возраст ТС. А теперь я позволю себе несколько крамольных мыслей.
Начнем с размерностей. Пусть у нас м.т. (материальная точка) совершает движение, зависимость ее скорости от времени известна, за время $T$ она приходит в какое-то конечное положение, которое можно рассчитать, проинтегрировав скорость по времени (с точностью до произвольной константы). Поделив теперь разность координат конечной и начальной точек (ака перемещение, если не ошибаюсь) на время движения $T$ мы получим вполне физически осмысленную характеристику - скорость, с которой надо было двигаться нашей точке прямолинейно и равномерно на всем интервале $T$, чтобы прийти в ту же самую конечную точку. И размерность у этой характеристики - размерность скорости.
Проделаем то же самое для координаты. Проинтегрируем, получим некую характеристику с точностью до константы, посчитаем разность ее конечного и начального значений. Получим нечто размерности расстояние*время (пока не будем давать этому название), поделим его на наше $T$, получим некую координату. Каков ее физический смысл? Это точка пространства, которой наша м.т. интегрально (в среднем) "уделяет больше всего времени". Если положение этой точки в пространстве стационарно, то можно говорить о некоем "центре притяжения движения" (теперь меня точно в альты запишут), если нестационарно - то тоже интересная характеристика движения. Куда это можно практически применить? Например, некто ходит на работу, в бар и домой спать, причем, проводит в дороге не бесконечно малое время. Допустим, туалета негде нет, а наш некто испытывает регулярную в нем потребность, но мы можем поставить его только один. В какой точке нам надо его поставить "наиболее оптимально", чтобы минимизировать (за большой промежуток времени) расстояние, которое наш некто будет преодолевать до туалета и обратно? Я подозреваю, что именно в "центре притяжения движения".

[Munin]

_Ivana в сообщении #861745 писал(а):

можно говорить о некоем "центре притяжения движения" (теперь меня точно в альты запишут)

Скорее, о "центре тяжести движения".

Вы просто нашли центр тяжести траектории, если изготовить её из толстой проволоки.

В альты вас записывать не за что :-)

[_Ivana]

Munin в сообщении #861764 писал(а):

Скорее, о "центре тяжести движения".
Вы просто нашли центр тяжести траектории, если изготовить её из толстой проволоки.

Если вы взглянете на мою характеристику чуть подольше, чем секунду, то увидите, что "центр тяжести траектории из толстой проволоки" не совпадает с ней и не дает ту же информацию. М.т. может двигаться по всей траектории за пару секунд, но в одной точке остановиться и задержаться на пару миллионов лет - тогда моя точка будет почти совпадать с ней, а ваша останется на месте.

Munin в сообщении #861764 писал(а):

В альты вас записывать не за что

Надеюсь, я и в дальнейшем смогу поддерживать тот компромисс между выражением собственных мыслей и избеганием этой характеристики

[Munin]

_Ivana в сообщении #861773 писал(а):

Если вы взглянете на мою характеристику чуть подольше, чем секунду, то увидите, что "центр тяжести траектории из толстой проволоки" не совпадает с ней и не дает ту же информацию.

Ту же. Просто я про проволоку в пространстве-времени. Ну или можно считать проволоку в пространстве, но неравномерной толщины - с погонной плотностью $1/v.$

_Ivana в сообщении #861773 писал(а):

Надеюсь, я и в дальнейшем смогу поддерживать тот компромисс между выражением собственных мыслей и избеганием этой характеристики :-)

Некрасиво будет записывать в альты ЗУ. Так что вы уж постарайтесь :-)

[_Ivana]

Надеюсь, консенсус достигнут, и мне в какой-то мере удалось отстоять "физический смысл" данной характеристики, вопреки категоричным мнениям Можно и про дальнейшие интегралы подумать, и гармонический осциллятор в этом смысле рассмотреть, как весьма показательный объект, но не хочется ставить такой шаткий компромисс под угрозу

[Munin]

_Ivana в сообщении #861782 писал(а):

Можно и про дальнейшие интегралы подумать

Какой вы прыткий! Боюсь, дальнейшие интегралы будут уже зависеть от выбора начала координат.

-- 11.05.2014 17:43:19 --

Например, представим себе плёнку, натянутую между траекторией и началом координат - этакий криволинейный сектор. Один из интегралов даст центр тяжести этого сектора. Но очевидно, от начала координат он будет зависеть.

[_Ivana]

Munin в сообщении #861784 писал(а):

Боюсь, дальнейшие интегралы будут уже зависеть от выбора начала координат.

Да, есть такое дело. Я и свой пример поэтому аккуратно с перемещением / средней скоростью отождествил, чтобы и от констант интегрирования избавиться, и размерность человеческую оставить. Но я не думаю, что сложности выбора начала координат / констант интегрирования непреодолимы. Хотя пока и не готов дать хоть какое-то законченное рассуждение на эту тему. Надо подумать, а ресурсов для этого немного.