Определенный интеграл

[Limit79]

Здравствуйте!

Подскажите, пожалуйста, в каких случаях определенный интеграл суммы не равен сумме определенных интегралов?

То есть, в каких случаях нарушается равенство

$$\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = \int\limits_{a}^{c} f(x) dx + \int\limits_{c}^{b} f(x) dx$$

где $c \in [a;b]$.

Мыслей особо нет, думал про точки разрыва, но они же не причем.

Вопрос последовал от преподавателя по заданию "вычислить интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в ряд", была мысль о том, что отрезок интегрирования входит в область сходимости, поэтому можно почленно интегрировать (поэтому вообще можно интегрировать), но это же не ответ на первый вопрос...

Спасибо!


Как-то я криво сформулировал вопрос, так будет точнее:

В каких случаях

$$\int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_{n} (x) dx \neq \sum\limits_{n=1}^{\infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n} (x) dx$$

[kp9r4d]

Всегда выполняется. А вот степенные ряды почленно интегрировать можно только иногда.

[Limit79]

kp9r4d в сообщении #860028 писал(а):

можно только иногда.

А когда нельзя? Не связано ли с областью сходимости?

[Ms-dos4]

Limit79
Можно, когда ряд равномерно сходится на отрезке интегрирования и все функции (члены) ряда интегрируемы на отрезке интегрирования.

[Limit79]

Ms-dos4
Вроде понял, спасибо!

[Otta]

Limit79
Для степенных рядов достаточно оговаривать "на круге (интервале) сходимости". Все остальные условия отсюда следуют автоматически.

В общем случае

Ms-dos4 в сообщении #860037 писал(а):

Можно, когда ряд равномерно сходится на отрезке интегрирования и все функции (члены) ряда интегрируемы на отрезке интегрирования.

достаточно интегрируемости каждого слагаемого, непрерывность не необходима.

[Ms-dos4]

Otta

(Оффтоп)

Интересно, я исправил это через 30 секунд после написания сообщения, и всё равно "запалили"

[Otta]

Ms-dos4

(Оффтоп)

Правда? Я вроде такой тормоз.

[Limit79]

Otta
Я своими словами написал, что отрезок интегрирования лежит в интервале сходимости ряда, думаю, будет достаточно.

[Otta]

Да.

[Limit79]

Otta
Пасиба!