К проблеме Гольдбаха

[vlgrig_39]

Обозначим $TK(X)$ Точное Количество представлений четного числа X суммами двух простых чисел. Почему $TK(1021020)=17075$ в четыре раза больше $TK(1021018)=4127$ и $TK(1021022)=4401$ ?

[mihailm]

Непонятно какого типа ответ вам нужен.
Для примера, ответьте на вопрос: почему у числа 210 четыре различных простых делителя, а у 212 - всего два?

[Батороев]

vlgrig_39 в сообщении #854497 писал(а):

Обозначим $TK(X)$ Точное Количество представлений четного числа X суммами двух простых чисел. Почему $TK(1021020)=17075$ в четыре раза больше $TK(1021018)=4127$ и $TK(1021022)=4401$ ?

Потому, что $1021020=2\cdot 17\#$.

[vlgrig_39]

У числа 210 четыре простых множителя потому, что число 210 делится без остатка на 2, 3, 5 и7. У числа 214 всего два простых множителя потому, что число 212 делится без остатка только на 2 и 53.

[mihailm]

Ясно, пусть та программа которая выдала значение $TK$, выдаст вам все эти 17075 (4127 и 4401) пар простых чисел. Это и будет почему.

[vorvalm]

vlgrig_39 в сообщении #854587 писал(а):

У числа 210 четыре простых множителя потому, что число 210 делится без остатка на 2, 3, 5 и7. У числа 214 всего два простых множителя потому, что число 212 делится без остатка только на 2 и 53.

Вы правильно заметили, что число представлений четного числа суммой двух простых чисел
зависит от числа простых делителей этого числа, но не только.
Играет роль и величина самого числа. Но когда сравниваются два очень близких числа,
то основную роль играет именно число простых делителей этих чисел, причем, чем больше
небольших простых делителей, тем больше представлений. Например, наличие делителя 3
сразу увеличивает число представлений в два раза.
Есть формулы числа представлений, довольно сложные.Поищите в интернете.

[vlgrig_39]

Уважаемый vorvalm! Уточните, пожалуйста, понятие два очень близких числа.

[vorvalm]

vlgrig_39 в сообщении #860474 писал(а):

Уточните, пожалуйста, понятие два очень близких числа.

Так как число представлений четного числа напрямую зависит от величины этого числа,
то, если вы хотите сравнить число представлений двух чисел, надо, чтобы эти числа отличались бы
по размеру друг от друга не более 1%

[vlgrig_39]

Уважаемый vorvalm! Вы пишете, что $TK(X)$ напрямую зависит от величины $X$, т.е., по-видимому, чем больше $X$, тем больше $TK(X)$, но это утверждение неверно, что иллюстрируют числа $X=1021020$ и $Y=1021022$ в моем первом сообщении. ​​Эти числа различаются менее чем на $1\%$​​, но $TK(X)$ больше $TK(Y)$ почти в четыре раза.​

[vorvalm]

vorvalm в сообщении #854635 писал(а):

Вы правильно заметили, что число представлений четного числа суммой двух простых чисел
зависит от числа простых делителей этого числа, но не только.
Играет роль и величина самого числа. Но когда сравниваются два очень близких числа,
то основную роль играет именно число простых делителей этих чисел, причем, чем больше
небольших простых делителей, тем больше представлений. Например, наличие делителя 3
сразу увеличивает число представлений в два раза.

[vlgrig_39]

Уважаемый vorvalm! Вы повторно пишете, что "наличие делителя 3 сразу увеличивает число представлений в два раза". Но ведь для соседних (ближе некуда!) четных чисел $X$ и $Y$ значение $TK(X)$ больше значения $TK(Y)$ в четыре, а не в два раза.
​

[vorvalm]

vlgrig_39 в сообщении #862516 писал(а):

наличие делителя 3 сразу увеличивает число представлений в два раза

А наличие других простых делителей почему не учитываете?

[vlgrig_39]

Уважаемый vorvalm! Благодарю Вас за моментальные ответы и прошу пояснить, как учесть "наличие других простых делителей"?

[vorvalm]

vlgrig_39 в сообщении #862532 писал(а):

прошу пояснить, как учесть "наличие других простых делителей"?

Я писал выше, что есть формулы числа представлений, но они, в основном, асимптотические.
Если же сравнивать два близких числа, то существует простая формула для определения
относительного числа представлений этих чисел.

$N(p)=\prod_3^p\frac{p-1}{p-2}$

где $p$ - простые делители числа ( без степеней)

[vlgrig_39]

Для нахождения сумм Гольдбаха вручную предлагается следующий алгоритм.

1. Для заданного четного числа $X$ выписать суммы нечетных чисел равные $X$, начиная с суммы $3+(X-3)$ и заканчивая суммой $X/2 + X/2$.

2. Найти наибольшее нечетное число $y_k$, квадрат которого $y^2_k$ меньше $X$.

3. Просматривать полученные суммы и зачеркивать те из них, в которых хотя бы одно из слагаемых кратно нечетным числам 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ... $y_k$. Пропускать те значения $y_j$, которые кратны ранее использованному значению $y_i$, $i < j$, например пропустить значения $y_j$=9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39, 45, 49, 51, 55 и т.д. Могут быть ошибочно зачеркнутые суммы: $3 + (X-3)$, если число $(X-3)$ простое, $5+(X - 5)$, если число $(X - 5)$ простое и др.

4. Оставшиеся незачеркнутыми суммы есть представления числа $X$ суммами двух простых чисел.

Например, для $X=60$ значение $y_k$=7 и незачеркнутыми останутся суммы 13 + 47, 17 + 43, 19 + 41, 29 + 31, а сумма 7 + 31 зачеркнута ошибочно; для $X=118$ значение $y_k$ = 9 и незачеркнутыми останутся суммы 11 + 117, 17 + 101, 29 + 89, 47 + 71, 59 + 59, а сумма 5 + 113 зачеркнута ошибочно.

Примечания

1. В системе Delphi алгоритм проверен до максимального числа $Xmax$ = 400000000, при этом первая незачеркнутая сумма 20129 + 399979871, ошибочно зачеркнуто 199 сумм (первые слагаемые незачеркнутых сумм 41, 53, 107, ..., 19319, 19553, 19739), Точное Количество представлений числа $Xmax$ суммами двух простых чисел равно $TK(Xmax)=999700$. Расхождение в процентах между $TK(Xmax)$ и количеством незачеркнутых сумм составляет 0.02\%, причем это расхождение с ростом $X$ убывает.

2. Мне удалось доказать, что Минимальная Оценка Количества представлений четного числа $X$ есть целая часть числа, равного корню квадратному из $X$, деленному на 4. Для чисел $X$ = 60, 118, 1000, 1000000, 400000000 значения $MOK(X)$ равны, соответственно, 1, 2, 7, 250, 5000.


​