бесконечно малые

[yafkin]

http://dxdy.ru/post854082.html#p854082

yafkin
Сформулируйте предмет обсуждения.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

для формулировки предмета обсуждения воспользуемся:

Бесконечно малая величина есть такая переменная величина, предел которой есть 0, или, что то же самое, это есть такая переменная величина, которая может быть сделана менее всякой данной величины........

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон 1890
—1907


бесконечно малые величины
почему величины?

mihaild в сообщении #1200625 писал(а):
Это точно не спор об определениях, что такое число и что такое величина?

Есть куча структур, на которых задано отношение порядка, в которые в каком-то смысле вкладываются натуральные числа, и в которых есть элементы, большие всех натуральных чисел. Например, ординалы или любое неархимедово упорядоченное поле (натуральные числа вкладываются как полукольцо и как упорядоченное множество). Можно вложить как упорядоченное множество хоть в и взять в качестве такой структуры (только непонятно, зачем это делать).

miflin в сообщении #1200659 писал(а):
Нам преподаватель матана говорил, что бесконечно малые - это процесс. Давно это было. В 60-е...
arseniiv в сообщении #1200622 писал(а):
Пример чего? Есть же учебники нестандартного анализа, это не новинка какая-нибудь. Там всё написано. Если пример какой-то другой системы, то Munin выше говорил об ординалах. У них, конечно, даже сложение некоммутативно, ну и что. На многочленах одной переменной из упорядоченного поля можно задать порядок так, что степени переменной будет естественно трактовать как «бесконечно большие» или «бесконечно малые» по сравнению с константнами из поля элементы (хотя тут проще обратиться за этим к обычному анализу, т. к. многочлены — функции и подпадают под определения б. м. и б. б. величин).

[ewert]

yafkin в сообщении #854082 писал(а):

бесконечно малые величины

почему величины?

[yafkin]

mihaild в сообщении #1200625 писал(а):

Это точно не спор об определениях, что такое число и что такое величина?

Есть куча структур, на которых задано отношение порядка, в которые в каком-то смысле вкладываются натуральные числа, и в которых есть элементы, большие всех натуральных чисел. Например, ординалы или любое неархимедово упорядоченное поле (натуральные числа вкладываются как полукольцо и как упорядоченное множество). Можно вложить $\mathbb{N}$ как упорядоченное множество хоть в $(0; 1)$ и взять $(0; 1]$ в качестве такой структуры (только непонятно, зачем это делать).

miflin в сообщении #1200659 писал(а):

Нам преподаватель матана говорил, что бесконечно малые - это процесс. Давно это было. В 60-е...

arseniiv в сообщении #1200622 писал(а):

Пример чего? Есть же учебники нестандартного анализа, это не новинка какая-нибудь. Там всё написано. Если пример какой-то другой системы, то Munin выше говорил об ординалах. У них, конечно, даже сложение некоммутативно, ну и что. На многочленах одной переменной из упорядоченного поля можно задать порядок так, что степени переменной будет естественно трактовать как «бесконечно большие» или «бесконечно малые» по сравнению с константнами из поля элементы (хотя тут проще обратиться за этим к обычному анализу, т. к. многочлены — функции и подпадают под определения б. м. и б. б. величин).

На самом деле мы не можем сказать ,что существуют бесконечно малые и бесконечно большие числа.
Точнее- обьекты, которые мы можем бесконечно уменьшать, получая конечное значение- и множество их счетно.
Другое дело бесконечно малые величины ,получаемые с помощью предельного перехода .
Они производятся в значительных (по крайней мере в счетных) количествах , позволяют построить различные теории- т.е. для математики существуют.
И поскольку обнаружены числа, которые не могут быть записаны счетным множетвом чисел - то их множество более
чем счетно , но имеет ли оно мощность континиума?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: отсутствует предмет обсуждения

yafkin
Сформулируйте предмет обсуждения.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.