2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение29.03.2014, 15:50 
Заморожен


20/12/10
5623
ex-math в сообщении #842688 писал(а):
А более или менее простых условий разрешимости уравнения (безотносительно числа серий) тоже нет?
Смотря что считать простым условием. Вот с уравнением $x^2-Ay^2=-1$ уже проблемы --- вопрос о его разрешимости сводится к выяснению чётности длины периода цепной дроби для $\sqrt{A}$. А для каких $A$ она чётна, похоже, никто не знает.

Для некоторых частных уравнений (типа $x^2-2y^2=c$) условия разрешимости есть --- в стиле условий разрешимости уравнения $x^2+y^2=n$. Можно ли предложить что-нибудь получше? Увы, не знаю.
ex-math в сообщении #842688 писал(а):
Если Вы выложите здесь свои материалы по уравнению Пелля, я с большим интересом почитаю.
Ловлю Вас на слове :-) Будет два не очень многостраничных текста. Мне нужно некоторое время (за эти выходные справлюсь), чтобы их причесать. Буду благодарен за замечания и комментарии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение29.03.2014, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1727
Москва
Для $-1$ можно пользоваться тем, что наименьшее натуральное $y$, которое ему удовлетворяет, меньше наименьшего натурального $y$, удовлетворяющего уравнению с $+1$. На практике довольно удобно -- при переборе возрастающих $y$ либо натыкаетесь на решение для $-1$, либо для $+1$. В последнем случае решений нет.
А вот для других $c$ непонятно, насколько велико может быть первое натуральное решение. Можно, конечно, искать пары целых чисел, удовлетворяющие неравенствам, типа приведенных в "Кванте", но именно из-за возможности $x$ и $y$ иметь разные знаки поле перебора огромно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение29.03.2014, 16:19 
Заморожен


20/12/10
5623
ex-math в сообщении #842704 писал(а):
А вот для других $c$ непонятно, насколько велико может быть первое натуральное решение.
Да, это проблема. Если $c$ мало по сравнению а $A$ (меньше $\sqrt{A}$, кажется), то подходящие дроби к $\sqrt{A}$ работают и базовые решения быстро находятся. А вот что делать с большими $c$, непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение30.03.2014, 17:17 
Заморожен


20/12/10
5623
Вот первый текст. Здесь обсуждается вопрос, как сразу получить все решения уравнения $x^2-Ay^2=B$ в целых неотрицательных числах, а также приводятся примеры решения уравнений 2-й степени общего вида (эти примеры затем вошли в статью из "Кванта", 2002, № 4, упр. 53 на стр. 11).


Вложения:
pell-type-equations.pdf [174.35 Кб]
Скачиваний: 127
 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение02.04.2014, 09:03 
Заморожен


20/12/10
5623
Вот второй текст. Здесь предлагается усовершенствованный подход к отысканию базисных решений уравнения $x^2-Ay^2=B$.


Вложения:
pell-type-equations-2.pdf [222.43 Кб]
Скачиваний: 112
 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение04.04.2014, 21:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1727
Москва
Прошу прощения, что пропал надолго. Тексты просмотрел -- спасибо, очень интересно, особенно второй. В принципе можно сказать, что проблема поиска наименьшего решения или доказательства его отсутствия решена. Лаконичное условие $y\leqslant\sqrt{|B|}y_0$ более чем удобно для практических нужд. Попозже постараюсь посмотреть детальнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение04.04.2014, 22:17 
Заморожен


20/12/10
5623
ex-math, спасибо. Мне хотелось предложить некий общий простой подход, с помощью которого можно было бы успешно бороться с олимпиадными задачами типа следующей: если $k>1$, $l>1$, то равенство $kx^2-klxy+ly^2=1$ невозможно в целых числах. (Обычно здесь применяют разные фокусы, а хочется чего-то алгоритмичного.) Во втором тексте было десятка три таких задач (разной степени сложности, в основном довольно сложных), которые я постепенно насобирал и частично сам придумал. Поскольку пока это существует в виде большой свалки, лучше пока не показывать. Как только разгребу, попрошу Вас почитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение12.04.2014, 19:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1727
Москва
nnosipov
Теорема 2 впечатляет: оценка точная (достигается, например для $x^2-2y^2=18$) и существенно снижает диапазон перебора по сравнению с оценкой внизу стр.6. Как и последняя, она годится не только для наименьшего решения, но и для всех базовых, если только позволить отрицательные значения неизвестных. С другой стороны, верхние оценки теоремы 1 в точности совпадают с последним неравенством в тексте. Но это неравенство (вместе с теоремой 2) доказывается гораздо короче и изящнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантовы уравнения 2 степени, обобщения уравнений Пелля
Сообщение13.04.2014, 11:43 
Заморожен


20/12/10
5623
ex-math в сообщении #848776 писал(а):
С другой стороны, верхние оценки теоремы 1 в точности совпадают с последним неравенством в тексте.
Да, это мне надо было явно указать (теперь сделал). С теоремой 2 мне откровенно повезло --- просто наткнулся на удачную формулировку. В книге Barbeau E.J. Pell's equation. New-York: Springer-Verlag, 2003. более трудовой подход (см. серию упражнений на стр. 49-52).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group