Бесконечно много 2

[rightways]

$2^{2^n}-2$ делится на $n$. Бесконечно ли много таких натуральных $n$ ?

[miflin]

(Оффтоп)

rightways в сообщении #848624 писал(а):

$2^{2^n}$

Кто мне объяснит, как правильно воспринимать $\displaystyle x^{x^x}:$
$\displaystyle x^{(x^x)}$ или $\displaystyle {(x^x)}^x?$

[mihailm]

Всегда первый случай

[Руст]

$n=2*3^k$ решение при любом k.

[rightways]

$2*3^k$ не подходит

[Руст]

Да ошибся. Надо $n=6*7^k$.
В этом случае показатель числа $2(2^{2^n-1}-1)$, а именно $3*7^{k+1}|2^n-1$.
Соответственно само число $n|6*7^{k+1}|2*(2^{2^n-1}-1).$

[whitefox]

Если 3 делит $2^{2^n-1}-1$, то $\varphi(3)=2$ делит $2^n-1$ так как 2 является примитивным корнем по модулю 3. Что не возможно. Следовательно $n$ не может делиться на 3.

И, вообще, ни одно нечётное простое число $p$ не может делить $n$, если 2 является примитивным корнем по модулю $p$.