2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 19:35 
Интеграл $\int_{0}^{\pi}\ln({1+2k \cos{\varphi}+k^2}) d\varphi $ равен нулю. Можно ли подобрать какую-либо достаточно простую замену, сводящую его к интегралу от нечётной функции в симметричных пределах?

 
 
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 19:40 
Почему вы решили, что он равен нулю?

 
 
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 19:44 
Аватара пользователя
integrate ln(1+2*0.3*cos(x)+0.3^2) dx from 0 to pi

 
 
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 19:46 
Аватара пользователя
Нулю он равен из каких-то банальных электростатических соображений, а доказывается на пальцах, наверное, тоже просто. Ну-ка, что получится, если развернуть его задом наперёд и сложить сам с собой?

 
 
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 19:49 
ИСН
У меня получилось, что нулю он равен только при $\[k \to  \pm 1\]$

 
 
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 19:57 
Аватара пользователя
Изображение Моё дело - сказать...

 
 
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 19:59 
ИСН
Нет, я не спорю, я имею ввиду, вы уверены, что он равен нулю при любом $\[k\]$? Тогда пойду искать у себя ошибку.

 
 
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 20:02 
Нет, при $|k|\le 1$.

 
 
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 20:05 
Конечно, имелось в виду, что $|k| \le 1$.
Доказательства равенства нулю известны, но недостаточно просты.
Вопрос в том, можно ли обойтись одной заменой.

 
 
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 21:30 
Из того, что я посмотрела, проще всего получилось методами ТФКП. Общий случай, кстати.
В некотором смысле это тоже замена.

 
 
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 21:39 
Конечно, так можно, но ТФКП выглядит тяжёлой артиллерией. Хотелось бы всё свести именно к интегралу от нечётной функции в симметричных пределах.

 
 
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 22:17 
Удвоив интеграл, можно всё это дело свести к рядам Фурье. Но там возни будет ещё больше, чем с ТФКП

 
 
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 22:22 
Аватара пользователя
Вообще-то этот пример в Демидовиче находится в разделе интегралов, зависящих от параметра.

 
 
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 22:25 
provincialka в сообщении #847362 писал(а):
Вообще-то этот пример в Демидовиче находится в разделе интегралов, зависящих от параметра.

Ну да, я так и делала. По параметру, а потом тфкпой.
Можно и без тфкпы, конечно, но с тфкпой гораздо проще.

 
 
 
 Re: Замена в интеграле
Сообщение08.04.2014, 22:25 
Ms-dos4 в сообщении #847359 писал(а):
Удвоив интеграл, можно всё это дело свести к рядам Фурье. Но там возни будет ещё больше, чем с ТФКП

Конечно. Это один из известных способов. Такой вариант не устраивает.

-- 08.04.2014, 21:27 --

provincialka в сообщении #847362 писал(а):
Вообще-то этот пример в Демидовиче находится в разделе интегралов, зависящих от параметра.

... причём для произвольных значениях параметра. Интересует всего лишь доказательство равенства нулю при значениях, по модулю меньших единицы. Ради этого дифференцировать по параметру не хочется.
Кстати, случай $|k|>1$ сводится к случаю $|k|<1$.

 
 
 [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group