Задача по теории чисел

[Rich]

Найти минимум функции $x^2+y^2$, если $x+y=k$, $x,y$ положительные целые числа,$k$ фиксированное положительное нечетное число.

В вещественных числах решается элементарно приравнивая производную к нулю,что же делать целых числах при нечетном $k$?

[patzer2097]

Rich в сообщении #846534 писал(а):

что же делать целых числах при нечетном $k$?

1. Выражаете $y$ через $x$.
2. Полученное значение подставляете в Вашу функцию.
3. Выделяете полный квадрат.
4. ????????
5. PROFIT!!!

[Rich]

Зачем выделять полный квадрат?Если бы $k$ было четным,получили бы критическую точку $\frac{k}{2}$ все хорошо, здесь же надо выбрать либо $x= \frac{k+1}{2}$ либо $x=\frac{k-1}{2}$ .Но есть ли другой метод в котором используется теория чисел ?

[patzer2097]

Rich в сообщении #846541 писал(а):

здесь же надо выбрать либо $x= \frac{k+1}{2}$ либо $x=\frac{k-1}{2}$

ну да, Вы правы. если умеете доказывать, что достаточно выбрать $x= \frac{k+1}{2}$ или $x=\frac{k-1}{2}$, конечно

Rich в сообщении #846541 писал(а):

Но есть ли другой метод в котором используется теория чисел ?

конечно, есть. обязательно спросите о нем у специалистов по теории чисел