2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Асимптоты комплексной функции
Сообщение05.04.2014, 23:35 


29/09/06
4552
Shtorm в сообщении #845944 писал(а):
я надеялся на Ваше высокопрофессиональное мнение
Моё высокопрофессиональное мнение сделало вывод, что объектом обобщения является некое понятие асимтпотического направления (вектор).
Оно, однако, никак не может осознать, что интересного в этом понятии. Может, интересна была бы некая "асимптотическая прямая", но она определяется не только одним "вектором асимптотического направления".
А уж почему там прямая (при описанном Вами способе получении уравнений) с чем-то пересекается --- совсем непонятно. Моё высокопрофессиональное мнение никогда не выходило за рамки 3D, а в 2D-3D всё асимптотическое крайне редко вступало в пересечения с окружающими предметами.

Короче, оно ничо не поняло.
Shtorm в сообщении #845944 писал(а):
На этом этапе нужно остановиться и спросить мнение заслуженных участников.
Не ограничивайте контингент ответчиков. Мимо пробегает множество Незаслуженных участников, разбирающихся в предмете (математике, I mean) получше нас с Вами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптоты комплексной функции
Сообщение05.04.2014, 23:55 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Алексей К. в сообщении #845955 писал(а):
...Может, интересна была бы некая "асимптотическая прямая", но она определяется не только одним "вектором асимптотического направления".
А уж почему там прямая (при описанном Вами способе получении уравнений) с чем-то пересекается --- совсем непонятно.


Да. Если поверхность имеет асимптотическое направление, то это не означает, что она имеет асимптоту поверхности. Но, если поверхность не имеет асимптотического направления, то точно и асимптоты не имеет. Система параметрических уравнений, задающих прямую, Александрову нужна для исследования поведения этой прямой и поверхности. То есть, прямая может пересекать поверхность в нескольких точках, может иметь только одну общую точку, а может не иметь общих точек. Если старший коэффициент в полученном уравнении (после подстановки параметрических уравнений прямой в уравнение поверхности) равен нулю, то поверхность имеет асимптотическое направление. И вот теперь далее: если поверхность уже точно имеет асимптотическое направление, то 3 случая, в зависимости от следующих коэффициентов: 1.) прямая может быть касательной, 2.) прямая может быть асимптотой 3.) прямая может быть образующей поверхности.
Жаль, Александров ограничивается рассмотрением только алгебраических поверхностей 2-го порядка.
Алексей К. в сообщении #845955 писал(а):
Не ограничивайте контингент ответчиков


Да. Вы правы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптоты комплексной функции
Сообщение06.04.2014, 05:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Shtorm в сообщении #845944 писал(а):
Соответственно, можем рассмотреть аналогичный объект (не знаю как его назвать, может гиперпрямая?), заданный 4-мя уравнениями с параметром.


Может быть, его назвать "прямая"?

-- Сб, 05 апр 2014 19:28:59 --

И еще, можно прояснить используемую терминологию? Считается ли прямая $y=0$ асимптотой графика функции $y=\frac{\sin x}{x}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптоты комплексной функции
Сообщение06.04.2014, 16:37 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
g______d в сообщении #846026 писал(а):
Может быть, его назвать "прямая"?


Хорошо, назовём этот объект "прямая в 4-мерном пространстве". Но вот сегодня всё утро крутилось в голове: ну хорошо, взяли такую прямую, написали эти 4 уравнения с параметром. НО! В этих 4-ёх параметрических уравнениях нужно использовать только действительные переменные и действительные коэффициенты или необходимо записать систему уравнений с использованием комплексных переменных и комплексных коэффициентов?

g______d в сообщении #846026 писал(а):
И еще, можно прояснить используемую терминологию? Считается ли прямая $y=0$ асимптотой графика функции $y=\frac{\sin x}{x}$?


Конечно, будет являться асимптотой. Я понимаю, почему Вы задали такой вопрос: возникает противоречие с определением асимптот как частного случая асимптотических направлений по Александрову. Опять подходим к тому вопросу, что Александров рассматривал только алгебраические кривые и для них вводил определения. А в Вашем примере - не алгебраическая кривая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптоты комплексной функции
Сообщение06.04.2014, 20:33 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Shtorm в сообщении #846268 писал(а):
почему Вы задали такой вопрос: возникает противоречие с определением асимптот


Пожалуй я тут неправильно написал. Противоречия нет. Прямая может пересекать алгебраическую кривую $n$-го порядка и при этом быть асимптотой. Другое дело, что для кривых 2-го порядка - если пересекает, то не является асимптотой. А порядок $n>2$ - без проблем.

 Профиль  
                  
 
 Уж больно самоуверенно звучит...
Сообщение06.04.2014, 21:55 


29/09/06
4552

(Оффтоп)

Shtorm в сообщении #845960 писал(а):
Система параметрических уравнений, ..., Александрову нужна для ...

Я в своё время сильно полюбил японский язык (нет, освоить не удалось); способствовало этому не только его сходство с моим любимым языком программирования, но и то, что подобные выражения в нём запрещены не только на морально-этическом уровне (что иногда наблюдается и вне Японии, в общении особо культурных особей), но запрещены тупо --- на уровне грамматики.

По-японски нельзя буквально сказать "он хочет купить машину", по аналогии с "я хочу купить машину".
Для подобных штук существуют штампы типа "он имеет вид человека, желающего купить машину". Нам не дано столь точно знать такие вещи про третьих лиц. В третьем лице оно и запрещено. Так меня учили, и мне это страшно понравилось. Надоело слушать от соотечественников "Почему ты такой грустный" и отвечать, что у тебя, мол, барахлит интерпретатор образов.

В русском языке такого запрета нет, но есть много вариантов приличного словописания:
"Похоже, система параметрических уравнений Александрову нужна для..."
"У меня сложилось впечатление, что система параметрических уравнений Александрову нужна для..."
Есть стандартное "Мне кажется, что..."
итп.

(offtop-2)

А ещё (вспомнил) --- неприлично просить у продавца типа "три яблока". Просят "примерно три яблока". Тем самым ты не ограничиваешь его свободу, не диктаторствуешь, и, естественно, получишь свои ровно три яблока. Хорошая страна.
А Александров, не будем забывать, --- корифей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Асимптоты комплексной функции
Сообщение07.04.2014, 00:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Shtorm в сообщении #846268 писал(а):
Конечно, будет являться асимптотой.


Я на всякий случай спросил.

Shtorm в сообщении #846268 писал(а):
В этих 4-ёх параметрических уравнениях нужно использовать только действительные переменные и действительные коэффициенты или необходимо записать систему уравнений с использованием комплексных переменных и комплексных коэффициентов?


Странный вопрос. Если мы уже отождествили $\mathbb C^2$ с $\mathbb R^4$, зачем нам еще в 2 раза увеличивать размерность?

Хорошо, если уж очень хочется ввести асимптоты для графиков функции комплексной переменной, то можно попробовать определить так: прямая в $\mathbb R^4$, такая что расстояние от точки на ней до графика стремится к нулю при стремлении параметра прямой к $+\infty$ или $-\infty$.

В качестве бонуса: если функция алгебраическая, то число точек пересечения с графиком будет либо конечным (тогда можно заменить прямую на луч, не пересекающийся с графиком), либо отрезок прямой будет лежать на графике. В последнем случае функция может быть только линейной (принцип аналитического продолжения). Если функция не алгебраическая, то возможна ситуация вроде $\frac{\sin x}{x}$.

Но опять же возникает вопрос "зачем"? Как мне кажется, цель конструкций в книге Александрова – рассказать про асимптоты квадрик без использования понятия предела. Поскольку данная тема происходит из анализа, нет никакого смысла его избегать. А в анализе часто намного удобнее сразу говорить про асимптотические разложения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group