Тервер задача про разбойников

[Favea]

Двенадцать разбойников делят 30 одинаковых монет так, что любая монета может попасть к любому разбойнику с одинаковой вероятностью. Найти вероятность того, что ровно 2 разбойника ничего не получат.

Вначале думала решить по классической формуле вероятности.
$n=C^{30}_{12}=41!/(30!\cdot 11!)$
$m=C^{30}_{10}=39!/(30!\cdot 9!)$
$p=m/n=110/1640$
Но сказали, что задача на применение ф. Бернулли, а как к ней приложить ума не приложу.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Приведите свои попытки решения и/или укажите затруднения.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

Favea
Знак умножения пишется \cdot

[provincialka]

Хм... у вас оригинальное представление о биномиальных коэффициентах! Не такие они!

(Оффтоп)

Обозначения тоже странные. Можно записать $C_{30}^{10}$ или $\binom{30}{10}$, но не $C_{10}^{30}$

[melnikoff]

Может быть так?
Представим, что все монеты разыграны. Тогда последовательность поочередного выбора разбойников из оставшихся будет представлять собой испытания Бернулли. Исход будет считаться успехом, если данный разбойник не получил ни одной монетки.
Хотя, нет... Данные испытания будут зависимыми.

[mihailm]

(Оффтоп)

Favea в сообщении #846216 писал(а):

...думала решить по классической формуле вероятности...

Вроде слова те, но с порядком что-то не то)

[Otta]

Favea в сообщении #846216 писал(а):

Но сказали, что задача на применение ф. Бернулли, а как к ней приложить ума не приложу.

Нет, Бернулли тут ни при чем. Более того, ответ у Вас правильный (если в арифметике не наврали). И даже решение правильное. Но и все возражения участников верные.

В общем, не знаю я, как у Вас обозначалось число сочетаний с повторениями, найдите и исправьте.

[provincialka]

Провела эксперимент, получилась вероятность примерно 17,5%. Я "назначала" каждой монете случайного разбойника. Можно ли считать это верной интерпретацией условия?

Примерно такое же число получается с помощью формулы включений и исключений, но она довольно громоздкая.

[melnikoff]

provincialka, а сколько раз Вы раздали по 30 монеток в Вашем эксперименте?

[provincialka]

Порядка 85000, пока рука не устала "тянуть" за хвостик в Excel. При пересчетах получается довольно стабильное значение.

[Otta]

А каким образом?
То есть что ответ автора верен, я не сомневаюсь, мне интересно, что происходило у Вас.

[provincialka]

Повторила эксперимент 20 раз (т.е. всего примерно 1 700 000 раздач), получилась доля $0,174982375$. По формуле получается $0,174925012$. Совпадение хорошее.

-- 07.04.2014, 01:28 --

Otta, в таких задачах всегда важна интерпретация условия. Автор пишет:

Favea в сообщении #846216 писал(а):

любая монета может попасть к любому разбойнику с одинаковой вероятностью

Я сделала так:

provincialka в сообщении #846507 писал(а):

Я "назначала" каждой монете случайного разбойника. Можно ли считать это верной интерпретацией условия?

Подсчитывала число монет у каждого разбойника, потом считала долю "раздач", в которых ровно два разбойника имеют по 0 монет. Не настаиваю, что мое понимание условия правильное, тем более, что точный расчет при таком понимании громоздкий.

[Otta]

provincialka в сообщении #846523 писал(а):

Повторила эксперимент 20 раз

Это хорошо, алгоритм заполнения какой?

-- 07.04.2014, 03:38 --

provincialka в сообщении #846523 писал(а):

Можно ли считать это верной интерпретацией условия?

Можно считать.

provincialka в сообщении #846523 писал(а):

точный расчет при таком понимании громоздкий.

Точный расчет приведен в стартовом посте... с точностью до обозначений.

[provincialka]

Хм... Ну, в 30 клетках одной строки стоит функция СЛУЧМЕЖДУ(1;12). Далее идет подсчет среди этих 30 значений количества единичек, двоек,... , дюжин (т.е. номеров конкретных разбойников). В еще одной клетке той же строки подсчитывается количество нулей среди 12 чисел. Все это размножается по вертикали. Потом в последнем столбце ищется общее количество значений и количество двоек (что соответствует двум нулям в раздаче). Их доля и считается.

Меня, главным образом, убедило хорошее совпадение двух методов подсчета.

-- 07.04.2014, 01:46 --

Моя формула совсем другая. $C_{12}^{10}\large(\frac{10}{12}\large)^{30}-C_{3}^{1}C_{12}^{9}\large(\frac{9}{12}\large)^{30}+C_{4}^{2}C_{12}^{8}\large(\frac{8}{12}\large)^{30}-...$

[Otta]

Ага, спасибо. Давайте, чтобы долго не разбираться: первое слагаемое - это вероятность какого события?