Теорема Ферма: частный случай для n=3

[Vinter]

Уравнение теоремы Ферма запишем следующим образом:
$a^3=c^3-b^3= (c-b)(c^2+bc+b^2)$ (1)
$a$ – четное число; $b, c$ – нечетные числа.
$(c^2+bc+b^2)$ – сумма трех нечетных чисел, нечетное число.
Для того чтобы уравнение (1) имело решение в целых числах, для четного числа $a$, как необходимое условие, должно выполняться равенство:
$a^3=(2^kd)^3$ (2)
где $d$ – простое или составное число с его делителями в любой степени;
$k=1, 2, 3 …$
Если четное число:
$(c-b)=2^mp$ (3)
при этом показатель степени $m\ne 3r$, где $r$ – целое число, то не зависимо от значения числа $p$ число $a$ будет дробным.
Таким образом, если выполняются условия уравнения (3) и если $m\ne 3r$, уравнение Великой теоремы Ферма не имеет решения в натуральных числах для степени $n=3 $.

[Алексей К.]

А если при этом $m=3r$, то уравнение Великой теоремы Ферма имеет решения в натуральных числах для степени $n=3 $?

-- 27 мар 2014, 15:38:29 --

И ещё одна непонятка: Вы рассматриваете
"частный случай теоремы Ферма, а именно $n=3$",
или
"частный случай теоремы Ферма для $n=3$, а именно случай, когда $c-b$ не кратно 8"?

[vorvalm]

Vinter в сообщении #841559 писал(а):

Таким образом, если выполняются условия уравнения (3) и если $m\ne 3r$, уравнение Великой теоремы Ферма не имеет решения в натуральных числах для степени $n=3 $.

При данных условиях это уже не ВТФ.
До этого может додуматься только Markopolo(Козий)

[Vinter]

Уважаемый Алексей К,
да, я также рассматриваю и случай, если $(c-b)$ не кратно $8$. А также другие случаи, о которых речь идет в моем доказательстве (см. формулу [3] в доказательстве и пояснение к ней).
В математике есть понятие: необходимое и достаточное условие.
Я привел доказательство необходимого условия для того,
чтобы уравнение теоремы Ферма имело решение в целых числах для степени $3$, но это не значит, что при выполнени этого условия уравнение теоремы имеет решение в целых числах.

[nnosipov]

Vinter в сообщении #843453 писал(а):

теорема имеет решение в целых числах

Бессмысленный набор слов.

[Алексей К.]

Vinter в сообщении #843453 писал(а):

В математике есть понятие: необходимое и достаточное условие.

Спасибо, почитал, узнал.

С одной строны, теорема Ферма доказана.
С другой стороны, доказательства некоторых частных случаев ($n=3$, например) до сих пор увлекают общественность.
И правда, почему бы общественности не увлечься тогда частным случаем упомянутого частного случая? А именно, $n=3,\quad c-b=8k$?

Публикуйте.

Только убедитесь сначала, что ни сам Ферма, ни Эйлер, ни nnosipov, ни ВПС, ни natalya_1 в своих трудах на эту тему (if any) не допёрли до обследования этого случая. Тяжкая работёнка.

[svv]

(Оффтоп)

Представляю, сколько звёздочек у первых двух упомянутых ЗУ.

[Vinter]

Вниманию посетителей темы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО BЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Уравнение Великой теоремы Ферма:
$c^n = a^n +b^n$ (1)
Здесь: $a, b$ – числа разной четности; $c$ – если целое, то нечетное число.
Частный случай: $n=3$
$c^3 = a^3 +b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) (2)
Преобразуем уравнение (1) в равносильное ему уравнение, для чего запишем:
$(a+b)^3-(a^3 +b^3)=3ab(a+b) (3)
Из уравнений (2), (3) следует:
$c^3 =(a+b)^3-3ab(a+b)=(a+b)[(a+b)^2-3ab] (4)
Уравнения (2) и (4) равносильные. Два уравнения называются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго, и обратно: каждое решение второго уравнения является решением первого.
Пусть: $a + b = kmp$; $k, m, p$ - простые числа.
Тогда из уравнения (4) следует:
$c^3 = (kmp)[(kmp)^2-3ab]$ (5)
Обозначим:
$[(kmp)^2-3ab] =D_1$ (6)
Тогда из уравнения (5) следует:
$c^3 = (kmp)D_1$ (7)
Поскольку числа $a, b$ взаимно простые, они взаимно просты и с числами $k, m, p$. Следовательно, двучлен $D_1$ не делится ни на $kmp$ ни на $k, m, p$. Поэтому из уравнения (7) следует, что $c$ - иррациональное число.
Таким образом, уравнение Великой теоремы Ферма не имеет решения в целых числах для степени $n=3$.
Если число $(a + b)$ кратно показателю степени $n=3$, например $n=3km$, то из уравнения (4) следует:
$c^3 = (3km)^3-3ab(3km)=3^2 (km)[3(km)^2-ab] (8)
Обозначим:
$[3(km)^2-ab] = D_2$ (9)
Запишем:
$c^3 =3^2 (km)D_2 (10)
Если числа $a, b$ взаимно простые и число $(a + b)$ кратно показателю степени $n=3$, то числа $a, b$ не делятся на $n=3$. Двучлен $D_2$ также не делится ни на $n=3$, ни на $km$, ни на $k, m$. Поэтому из уравнения (10) следует, что $c$ - иррациональное число.
Таким образом, и в этом случае уравнение Великой теоремы Ферма не имеет решения в целых числах для степени $n=3$.
Для того чтобы убедиться в достоверности доказательства, достаточно взять любые два взаимно простых числа $a, b$ разной четности, подставить их в уравнения (2) и (4) и произвести расчеты. Полученные результаты будут равными. Это подтверждает равносильность этих уравнений.

Общие выводы:
1. Если число $(a + b) = kmp$, т. е. произведению простых чисел в первой степени каждое, то трехчлен $(a^2-ab +b^2)$ в формуле (2) не делится ни на $n=3$ , ни на $kmp$, ни на $k, m, p$.
2. Если число $(a + b) = 3km$, т. е. кратно показателю степени $n=3$, то трехчлен $(a^2-ab +b^2)$ в формуле (2) делится на $n=3$, но не делится ни на $km$, ни на $k, m$.

Примечание: числа $a, b$ могут быть равны:
$a=a_0^k$, $b=b_0^k$, где
$k$ - людое целое число.

[Shadow]

Vinter в сообщении #847059 писал(а):

Общие выводы:
1. Если число $(a + b) = kmp$, т. е. произведению простых чисел в первой степени каждое, то трехчлен $(a^2-ab +b^2)$ в формуле (2) не делится ни на $n=3$ , ни на $kmp$, ни на $k, m, p$.

А если там простые не в первой степени?

Vinter в сообщении #847059 писал(а):

2. Если число $(a + b) = 3km$, т. е. кратно показателю степени $n=3$, то трехчлен $(a^2-ab +b^2)$ в формуле (2) делится на $n=3$, но не делится ни на $km$, ни на $k, m$.

А если число $(a + b) = 9k^3m^3$

Короче все, что пишете - верно, но Вы рассматриваете только частные, не особо интересные случаи.

[Алексей К.]

Shadow в сообщении #847101 писал(а):

Короче все, что пишете - верно,

На мой взгляд, далеко не всё.

Vinter в сообщении #847059 писал(а):

$n=3$, например $n=3km$,

Ну, это наверняка опечатка.

Vinter в сообщении #847059 писал(а):

Таким образом, уравнение Великой теоремы Ферма не имеет решения в целых числах для степени $n=3$.

Я зачеркнул то, с чем не согласен. Не "таким образом" делаются подобные выводы.

Vinter в сообщении #847059 писал(а):

Для того чтобы убедиться в достоверности доказательства, достаточно взять любые два взаимно простых числа $a, b$ разной четности, подставить их в уравнения (2) и (4) и произвести расчеты.

Не так убеждаются в достоверности доказательств. Так в достоверности доказательств не убеждаются.

Vinter в сообщении #847059 писал(а):

Примечание: числа $a, b$ могут быть равны:
$a=a_0^k$, $b=b_0^k$, где
$k$ - любое целое число.

Ерунда какая-то, протрактовать не могу. Может, ещё одна опечатка.

Ну и да, согласен, --- ничего интересного.
И, главное, что изменилось за последние пару лет (во мне ли, на форуме ли?): не стало ни малейшего интереса искать слова и убеждать автора в том, что ерундой занимается...

[Vinter]

1. Из уравнения (4) следует, что $(a+b)$ и $[(a+b)^2+3ab]$ взаимно простые числа. Следовательно, "перебегание" простых чисел из числа $(a+b)$ в число $[(a+b)^2+3ab]$ и наоборот невозможно.
Если $(a+b)=3^2(km)^3$, то поскольку $c<(a+b)=3^2(km)^3$, то $\sqrt[3]{3^2(km)^3} =km\sqrt[3]{9}$ иррациональное число.

2.Уравнение (4) не имеет решения в целых числах при любых значениях чисел $a, b$. Достаточно выполнить конкретные расчеты. Следовательно, решения, выполняемые по этому уравнению, являются не частными, а общими.

Другой вариант равносильного уравнения:
$c^3=(a+b)[(a+b)(a-2b)+3b^2]$
Используя найденные мною методы преобразования уравнения теоремы Ферма в равносильные уравнения, я нашел равносильные уравнения для уравнений теоремы Ферма $4, 5, 6, 7$ степени.

[nnosipov]

Vinter в сообщении #847829 писал(а):

1. Из уравнения (4) следует, что $(a+b)$ и $[(a+b)^2+3ab]$ взаимно простые числа.

Доказательство отсутствует.

Vinter в сообщении #847829 писал(а):

2.Уравнение (4) не имеет решения в целых числах при любых значениях чисел $a, b$. Достаточно выполнить конкретные расчеты.

Пустое заявление.

[Vinter]

Вы правы только в одном случае, если $(a+b)=3km$.
Но после сокращения на $3$ - это взаимно простые числа.
Смотрите часть доказательства для случая $(a+b)=3km$, [формула (8)].

P.S.Иногда, чтобы в чем-то убедиться, полезно выполнять конкретные расчеты.

[nnosipov]

Vinter в сообщении #847840 писал(а):

Но после сокращения на $3$ - это взаимно простые числа.

Приведите полную формулировку утверждения, а далее --- его доказательство.

[lasta]

Vinter в сообщении #847829 писал(а):

Если $(a+b)=3^2(km)^3$, то поскольку $c<(a+b)=3^2(km)^3$, то $\sqrt[3]{3^2(km)^3} =km\sqrt[3]{9}$ иррациональное число.

Вы всегда забываете про трехчлен $(a^2-ab+b^2)$, который кратен $3$, если $(a+b)$ кратно $3$
$c=\sqrt{(a+b)(a^2-ab+b^2)}$. И ни каких противоречий.