Криволин. интегралы

Don-Don · 04/03/14 196

Есть несколько вопросов по задачам:

1) Вычислить $\displaystyle\int_{AB}(4y-3x)ds$

$A(5;4;-2);\;\;B(7;6;-1)$

Можно составить переметрические уравнения прямой:

$x=5+2t\;\;y=4+2t\;\;\;z=-2+t$

$\displaystyle\int_{AB}(4y-3x)ds = \displaystyle\int_{?}^{?}(4(4+2t)-3(5+2t))dt$

Если так, то как узнать -- на каком промежутке меняется параметр $t$ ?

2) Найти массу дуги кривой $(x+1)^2+\dfrac{(y-2)^2}{49}=1$ при $x\ge 0$ и $y\le 2$ , если плотность $\rho(x,y)=2x-y-xy+2$

Думаю, что $m=\int_{l}\rho(x,y)dl$

Каким образом вычислять интерал? Есть идея перейти к обобщенным полярным коородинатам

$x=-1+r\cos\varphi\;\;\;y=7(2+r\sin\varphi)$

$J=7r$

А как дальше?

3) Вычислить интеграл по контуру $\displaystyle\int_{\partial G}8ydx-3xdy$ , область $G$ ограничена линиями $x=y^2-3y, x=-2$ (обход +)

Как тут можно начать? Нужно параметризовать? Можно так? $y=t, x=2t^2-3t$

provincialka · 18/01/13 12044 Казань

1 задача.

Don-Don в сообщении #841941 писал(а):

на каком промежутке меняется параметр $t$

От 0 до 1. Проверьте.

2 задача.

Don-Don в сообщении #841941 писал(а):

Есть идея перейти к обобщенным полярным координатам

Нет, у вас получится слишком много переменных. Формулы похожие, но смысл иной: не полярные координаты, а параметризация через параметр $\varphi$ . И не якобиан надо считать, а $dl$ .

Задача 3. Если считать "в лоб", надо учесть и кусок линии, лежащей на прямой $x=-2$ . Но можно и Грином воспользоваться.

Shtorm · 14/02/10 4956

Don-Don, а в первом интеграле как это Вы так заменили $ds$ на $dt$ ?

Don-Don · 04/03/14 196

provincialka в сообщении #841947 писал(а):

Нет, у вас получится слишком много переменных. Формулы похожие, но смысл иной: не полярные координаты, а параметризация через параметр $\varphi$ . И не якобиан надо считать, а $dl$ .
.

Спасибо)
$x=-1+\cos\varphi\;\;\;y=7(2+\sin\varphi)$ Так? А якобиан будет? Он будет равен $7$ ?

Теперь третья задача понятна)

provincialka · 18/01/13 12044 Казань

Don-Don в сообщении #841967 писал(а):

А якобиан будет?

Не надо. Читайте классиков (т.е. меня и Shtorm). Первые два интеграла берутся по мере (по длине дуги), вот ее и считайте.

Don-Don · 04/03/14 196

То есть так?

Найти массу дуги кривой $(x+1)^2+\dfrac{(y-2)^2}{49}=1$ при $x\ge 0$ и $y\le 2$ , если плотность $\rho(x,y)=2x-y-xy+2$

$x=-1+\cos\varphi\;\;\;y=7(2+\sin\varphi)$

Думаю, что так? $m=\int_{0}^{2\pi}\Big(2(-1+\cos\varphi) -(7(2+\sin\varphi))-(-1+\cos\varphi)(7(2+\sin\varphi))+2\Big) \cdot \sqrt{\sin^2\varphi +49\cos^2\varphi }\;\; d\varphi$

Верно?

provincialka · 18/01/13 12044 Казань

Вроде, да. Правда, можно было преобразовать функцию плотности так: $(x+1)(2-y)$ . Это сократит счет.
О, кстати! У вас $y$ найден неправильно, пересчитайте.

Don-Don · 04/03/14 196

provincialka в сообщении #842007 писал(а):

Вроде, да. Правда, можно было преобразовать функцию плотности так: $(x+1)(2-y)$ . Это сократит счет.
О, кстати! У вас $y$ найден неправильно, пересчитайте.

Спасибо) Вот так? $y=2+7\sin\varphi$