Задание, связанное с нахождением предела

[BENEDIKT]

Необходимо найти предел функции:

$\lim\limits_{x \to \infty} (\dfrac{x^2+1}{x^2-3})^{x^3-5}=\lim\limits_{x \to \infty} (\dfrac{x^2+1}{x^2-3})^{x^3-5}$

Все попытки решения привели к ответу: ноль. В ответах учебника значится бесконечность. Пытался решить, например, так:

$\lim\limits_{x \to \infty} (\dfrac{x^2+1}{x^2-3})^{x^3-5}=\lim\limits_{x \to \infty} (1+\dfrac{-4}{x^2+1})^{x^2(\frac{5}{x^2}-x)}=\lim\limits_{y \to \ 0}(1+y)^{(-\frac{4}{y}-1)(\frac{5}{-\frac{4}{y}-1}-\sqrt{-\frac{4}{y}-1})(-\frac{1}{4})(-4)}=\lim\limits_{y \to \ 0}(1+y)^{(\frac{1}{y}+\frac{1}{4})(\frac{5}{-\frac{4}{y}-1}-\sqrt{-\frac{4}{y}-1})(-4)}=\lim\limits_{y \to \ 0} e^{(\frac{5}{-\frac{4}{y}-1}-\sqrt{-\frac{4}{y}-1})(-4)}\lim\limits_{y \to \ 0}(1+y)^{\frac{1}{4}(\frac{5}{-\frac{4}{y}-1}-\sqrt{-\frac{4}{y}-1})(-4)}=\dfrac{1}{e^{\infty}}=0$

Проблема в том, что при попытке использовать второй замечательный предел приходится возводить выражение в т. ч. в отрицательную степень, что и приводит к делению единицы на бесконечно большую величину, т. е. к бесконечно малой величине.

[Ms-dos4]

Что бы не мучатся с заменами и корнями (ваше решения я не проверял), лучше прологарифмировать предел, затем привести его к $\[[\frac{0}{0}]\]$ и затем отлопиталить. Вроде бы получается как раз $\[\infty \]$

[roga]

Нужно свести ко второму замечательному

$\lim \limits_{x \to \infty}\left ( 1+\frac{4}{x^2-1} \right )^{x^3-5}$

Минус 1 и минус 5 значения не играют. Если бы степень была не $x^3$, а $x^2$, то ответ был бы $e^4$
А так - естественно, бесконечность.

[provincialka]

У вас первое же равенство неверное. Там нет минуса перед 4. И зачем такие сложности с корнями? Поделите и умножьте показатель на $\frac {4}{x^2-3}$.
Таким способом получается, что $\lim f^g=e^{\lim g(f-1)}$.
кстати, вы уверены, что предел в просто бесконечности, а не в $+\infty$?

[BENEDIKT]

Большое спасибо всем за помощь.

Ms-dos4
К сожалению, я пока не могу воспользоваться правилом Лопиталя.

roga
А разве степень $x^3-5$ не изменяется на $5-x^3$, если дробь перевернуть?

provincialka в сообщении #840190 писал(а):

Поделите и умножьте показатель на $\frac {4}{x^2-3}$.

Попробовал.

$\lim\limits_{x \to \infty} (\dfrac{x^2+1}{x^2-3})^{x^3-5}=\lim\limits_{x \to \infty} (1+\dfrac{4}{x^2-3})^{x^3-5}=\lim\limits_{x \to \infty} (1+\dfrac{4}{x^2-3})^{\frac{(x^3-5)(x^2-3)4}{4(x^2-3)}}= = e^{\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{4x^3-20}{x^2-3}}= e^{\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{4x-\frac{20}{x^2}}{1-\frac{3}{x^2}}}=e^\infty=\infty$

Надеюсь, верно?

provincialka в сообщении #840190 писал(а):

кстати, вы уверены, что предел в просто бесконечности, а не в $+\infty$?

В учебнике в ответах значится просто бесконечность...

[provincialka]

BENEDIKT в сообщении #840327 писал(а):

В учебнике в ответах значится просто бесконечность...

Не в ответе, в условии. Конечно, степень не может стремится в отрицательному числу. Но зато $e^{-\infty}=0$

[BENEDIKT]

В условии, кажется, тоже просто бесконечность...
И позвольте заодно кое-что уточнить. По теореме деление единицы на бесконечно малую величину даёт бесконечно большую величину. Тогда ведь и деление любого числа на бесконечно малую приводит к тому же результату? Этот вопрос возник как раз из-за степени, которая получилась в конце преобразований:
$e^{\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{4x-\frac{20}{x^2}}{1-\frac{3}{x^2}}}$
Кстати, тогда у меня в числителе получается разность бесконечно больших величин. Это ведь бесконечно малая? А при делении на единицу как раз получаем бесконечно большую?

P. S. Простите, что засыпал Вас вопросами...

[ИСН]

Разность бесконечно больших величин - это бесконечно малая, или 1, или -1, или 0, или бесконечно большая, возможны и другие варианты.
Хорошо, что у Вас нигде нет разности бесконечно больших величин, а то что бы Вы с ней делали?

[BENEDIKT]

Прошу прощения, я сначала написал какой-то бред, а возможности отредактировать пост нет.
В числителе показателя степени получается разность бесконечно большой и бесконечно малой величин, в знаменателе - разность единицы и бесконечно малой величины. Теперь разобрался.