Вопрос по разложению Маклорена от 2-ух переменных

[Ssheh]

Здравствуйте, помогите пожалуйста разобраться. Дана функция $f(x,y)=\frac{\sin x}{\sin y}$, $M=(0;0)$. Мне нужно ее разложить до 2-го порядка в окрестности точки М. Вопрос: Могу ли я сразу делать это разложение по формуле тейлора(с дифференциалами)? И если могу подскажите пожалуйста, что тогда делать, когда первый член разложения неопределен, т.е: $f(x_0;y_0)=\frac{0}{0}$ ?

[SpBTimes]

А прочитайте условие теоремы Тейлора.

[Ssheh]

Цитата:

А прочитайте условие теоремы Тейлора.

Правильно ли я понимаю, что я не могу сразу же раскладывать, т.к функция имеет разрыв при $y=\pi n$ ?

[SpBTimes]

Конечно.

[Ssheh]

Цитата:

Конечно.

Тогда позвольте задать еще вопрос: могу ли я тогда для начала просто разложить $f(x,y)=\frac{\sin x}{\sin y}$ , как $f(x,y)={\sin x}{\sin^{-1}y}$ , где ${\sin x}$ и ${\sin y}$ каждую разложу в простой ряд Тейлора?

[SpBTimes]

Ну каждую, конечно, можете. Каждый синус.

[Ssheh]

Цитата:

Ну каждую, конечно, можете. Каждый синус.

Раскладываю таким образом: $\sin x=x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3})$ , $\sin y=y - \frac{y^{3}}{6} + o(y^{3})$, далее представляю функцию в виде :
$f(x,y)=(x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3}))(y^{-1})(1 - \frac{y^{2}}{6} + o(y^{2}))^{-1}$ и, раскладывая самую правую скобку, получаем : $f(x,y)=(x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3}))(y^{-1})(1 + \frac{y^{2}}{6} + o(y^{2}))$ и в итоге : $f(x,y)=\frac{x}{y}+ \frac{xy}{6} - \frac{x^{3}}{6y} + 0(p^{2})$ и получается, что я опять не могу применять разложение по формуле Тейлора в окр., т.к y при подстановке M будет давать $\frac{0}{0}$, можете подсказать в чем проблема?

[SpBTimes]

Проблема все в том же. Она исчезнуть не может

[Ssheh]

SpBTimes в сообщении #837315 писал(а):

Проблема все в том же. Она исчезнуть не может

Но не хотите же вы сказать, что это невозможно разложить по формуле Тейлора в окр. ?

[Otta]

Ssheh в сообщении #837319 писал(а):

Но не хотите же вы сказать, что это невозможно разложить по формуле Тейлора в окр. ?

Хочет, и даже предложил Вам ознакомиться с соотв. теоремой.

[Ssheh]

Хм..я спросил у преподавателя, и он мне ответил, что все-таки $\frac{\sin x}{\sin y}$ можно разложить в ряд, но "не должен получится обычный степенной ряд". Но как тогда это можно разложить? Можете, пожалуйста, подкинуть какую-нибудь идею?

[Otta]

1)Задание было разложить до второго порядка. Теперь уже в ряд. Так что же от Вас требуется на самом деле?
2)Это основная задача?

[Ssheh]

Otta в сообщении #837428 писал(а):

1)Задание было разложить до второго порядка. Теперь уже в ряд. Так что же от Вас требуется на самом деле?
2)Это основная задача?

1) а почему нельзя разложить в ряд до 2-го порядка?
2)да, это основная задача

[Otta]

Потому что до второго порядка - это совершенно определенные слагаемые, во-первых. Во-вторых, их конечное число, а значит, это не ряд.

У вас это задача на каком курсе, на какую тему и по какому предмету? Попытки выкрутиться с "неправильными слагаемыми" - это уже заведомо не формула Маклорена.

[Ssheh]

Otta в сообщении #837457 писал(а):

Потому что до второго порядка - это совершенно определенные слагаемые, во-первых. Во-вторых, их конечное число, а значит, это не ряд.

У вас это задача на каком курсе, на какую тему и по какому предмету? Попытки выкрутиться с "неправильными слагаемыми" - это уже заведомо не формула Маклорена.

Извините, но я не понимаю, что значит

Цитата:

Попытки выкрутиться с "неправильными слагаемыми"

Я полностью расписал задачу в самом 1-м сообщении:

Ssheh в сообщении #837261 писал(а):

Дана функция $f(x,y)=\frac{\sin x}{\sin y}$, $M=(0;0)$. Мне нужно ее разложить до 2-го порядка в окрестности точки М.

По формуле Тейлора.