Разностная схема для уравнения теплопроводности

[OneMore]

Есть теплопроводящая сфера. Начальные и краевые условия обладают сферической симметрией. Нужно решить уравнение теплопроводности с постоянными коэффицентами.
Как известно, уравнение теплопроводности в сферических координатах и сферической симметрией:

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{r}\frac{\partial^2 (ru)}{\partial r^2}$$

Начальные и краевые условия переписываются уже для новой функции $f(r)=ru$. Решается одномерная задача.
Непонятно только то, как восстановить решение в нуле, ведь там особенность?
Систему координат лучше не менять, так как теряется симметрия. Нужно наверно как-то записать оператор Лапласа в нуле. Или брать решение в нуле как предел $\lim \limits_{r \mapsto 0} \frac{f(r)}r$ ?
А если составляем разностную схему для этого уравнения, то как тогда восстанавливать? Или какая-то особенная схема будет?

[ewert]

OneMore в сообщении #835365 писал(а):

Как известно, уравнение теплопроводности в сферических координатах и сферической симметрией:

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{r}\frac{\partial^2 (ru)}{\partial r^2}$$

Боюсь, что это известно только Вам.

[TOTAL]

OneMore в сообщении #835365 писал(а):

Непонятно только то, как восстановить решение в нуле, ведь там особенность?

В нуле вот такое запишите

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{3}\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}$$

А еще лучше такое

$$\frac{\partial u}{\partial t}=3\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}$$

[OneMore]

ewert в сообщении #835420 писал(а):

OneMore в сообщении #835365 писал(а):

Как известно, уравнение теплопроводности в сферических координатах и сферической симметрией:

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{r}\frac{\partial^2 (ru)}{\partial r^2}$$

Боюсь, что это известно только Вам.

Почему? Отбросил все, кроме радиальной части, получилось такое.

TOTAL в сообщении #835442 писал(а):

В нуле вот такое запишите

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{3}\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}$$

Это можно получить, считая как предел?

$$ \Delta u(0) =\lim\limits_{r \to 0} \frac6{r^2} \left \{\frac1{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r} u(r) d \sigma - u(0) \right \} $$

[TOTAL]

OneMore в сообщении #835636 писал(а):

TOTAL в сообщении #835442 писал(а):

В нуле вот такое запишите

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{3}\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}$$

Это можно получить, считая как предел?

$$ \Delta u(0) =\lim\limits_{r \to 0} \frac6{r^2} \left \{\frac1{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r} u(r) d \sigma - u(0) \right \} $$

Это (без опечатки, с тройкой на правильном месте) можно получить из записи в декартовой системе координат:

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$$

Поэтому (из симметрии)

$$\frac{\partial u}{\partial t}=3 \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial r^2}$$