2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Квадратное уравнение
Сообщение03.03.2014, 15:31 
Аватара пользователя
Допустим, есть уравнение с малым параметром эпсилон вида:
$$x^2+x+1+\varepsilon+\varepsilon^2=0$$

Верно ли будет, что после того как найду первую поправку к нулевому уравнению (когда эпсилон равна нулю), следующее решение искать как поправку к новому решению (к решению с учётом первой степени эпсилон), приняв $x^2+x+1+\varepsilon=0$ за нулевое уравнение?

 
 
 
 Re: Квадратное уравнение
Сообщение03.03.2014, 15:49 
Что такое "первая поправка к нулевому уравнению (когда эпсилон равна нулю)"?
Найдите ее, пожалуста, в данном случае

 
 
 
 Re: Квадратное уравнение
Сообщение03.03.2014, 16:12 
Аватара пользователя
mihailm в сообщении #832228 писал(а):
Что такое "первая поправка к нулевому уравнению (когда эпсилон равна нулю)"?
Найдите ее, пожалуста, в данном случае

Не, не, данный случай - это прстой пример. Просто моё квадратное уравнение куда более громоздко, я просто хотел спросить про принцип. Верно ли это. Т.к. надо учесть ещё поправку второго порядка.
Уравнение я написал не очень хорошее. Пусть будет другое
$$x^2+x-1+\varepsilon+\varepsilon^2=0$$
Мой вопрос состоит в нахождении решения вот этого уравнения по теории возмущений. Для этого я сначала решаю
$$x^2+x-1=0$$
и нахожу корни $x_0$ - нулевое решение.
Далее я включаю возмущение:
$$x^2+x-1+\varepsilon=0$$
и к нулевому решению добавляю малую поправку: $x_1=x_0+\delta_1.$
Подставляю и нахожу эту дельту.
Вопрос такой, что чтобы учесть $\varepsilon^2$ будет ли верным найденное $x_1$ считать как новое нулевое решение уравнения $x^2+x-1+\varepsilon=0$ и искать к нему новую поправку $x_2=x_1+\delta_2$?

 
 
 
 Re: Квадратное уравнение
Сообщение03.03.2014, 16:15 
Аватара пользователя
Ну Вы же понимаете, что поправка первого порядка от $\varepsilon^2$ будет в том же размерном классе, что и поправка второго порядка от $\varepsilon$. То есть считать одну без другой нет смысла.

 
 
 
 Re: Квадратное уравнение
Сообщение03.03.2014, 17:03 
Аватара пользователя
ИСН, да, понимаю.
В первом сообщении я не дописал, что $\delta_1\propto\varepsilon$, а $\delta_2\propto\varepsilon^2$. При этом я пренебрегаю порядками выше второго, которые возникнут в ходе подстановки. Разве это неверно? Не помню когда последний раз решал подобные уравнения, подзабыл.

 
 
 
 Re: Квадратное уравнение
Сообщение03.03.2014, 17:09 
Аватара пользователя
Выше второго - пренебрегайте на здоровье.

 
 
 
 Re: Квадратное уравнение
Сообщение03.03.2014, 20:29 
Аватара пользователя
Так мне всё-таки интересно. Пусть есть это же уравнение.
$$x^2+x-1+\varepsilon+\varepsilon^2=0$$
На его примере распишу подробнее как я решал своё аналогичное.
Сначала ищем корни нулевого уравнения.
$$x^2+x-1=0$$
$$x_0=\frac12\left(-1\pm\sqrt5\right)$$
Далее, включаю возмущение и ищу поправку к нулевому корню $\delta_1\propto\varepsilon$.
$$x^2+x-1+\varepsilon=0$$
$$x_1=x_0+\delta_1$$
Подставляя
$$2x_0\delta_1+\delta_1+\varepsilon=0$$
Отсюда:
$$\delta_1=-\frac{\varepsilon}{2x_0+1}.$$
Вроде так. Это я понимаю и делал сто раз. Неуверен в рассуждениях я, когда надо учесть следующий порядок эпсилон. Т.к. нечасто сталкивался с подобным. Почти всегда мне было достаточно низшего порядка малости.

Теперь мне надо учесть $\varepsilon^2.$ Для этого я ищу новое решение как:
$$x_2=x_1+\delta_2$$
где $$\delta_2\propto\varepsilon^2$$
Подставляю.
$$x_1^2+2x_1\delta_2+x_1+\delta_2-1+\varepsilon+\varepsilon^2=0$$
С учётом того, что $x_1$ удовлетворяет уравнению:
$$x^2+x-1+\varepsilon=0$$
получаю окончательно, что
$$\delta_2=-\frac{\varepsilon^2}{2x_0+1}$$

PS $x_1=x_0+\delta_1$, $2x_1\delta_2=2(x_0+\delta_1)\delta_2$ и $2\delta_1\delta_2$ пренебрёг, т.к. это следующий порядок малости по эпсилон .
Это верно?

 
 
 
 Re: Квадратное уравнение
Сообщение03.03.2014, 20:35 
Аватара пользователя
r0ma в сообщении #832322 писал(а):
$2x_1\delta_2$ пренебрёг, т.к. это следующий порядок малости по эпсилон.
Это верно?
Нет. С каких это вдруг? $x_1$ же не малое число.

 
 
 
 Re: Квадратное уравнение
Сообщение03.03.2014, 20:35 
Аватара пользователя
ИСН
я поправил. Посмотрите ещё раз конец моего сообщения.

 
 
 
 Re: Квадратное уравнение
Сообщение03.03.2014, 20:36 
Аватара пользователя
ага, теперь лучше, но есть ещё нюанс

 
 
 
 Re: Квадратное уравнение
Сообщение03.03.2014, 20:37 
Аватара пользователя
ИСН
поправил ещё раз. Или Вы уже про что-то другое?

 
 
 
 Re: Квадратное уравнение
Сообщение03.03.2014, 20:38 
Аватара пользователя
Другое. Вы предполагаете, что $x_1$ является точным корнем уравнения. А ведь хрен!

 
 
 
 Re: Квадратное уравнение
Сообщение03.03.2014, 20:40 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #832331 писал(а):
А ведь хрен!
В этом-то я и сомневался. Не зря. А как быть?

 
 
 
 Re: Квадратное уравнение
Сообщение03.03.2014, 20:46 
Аватара пользователя
:roll: :roll: Не предполагать. Вы что точно знаете? Что $x_0$ является точным корнем невозмущённого уравнения, а $x_1$ отличается от него на поправочку первого порядка, тоже известную. Вот из этого и исходите.

 
 
 
 Re: Квадратное уравнение
Сообщение03.03.2014, 20:50 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #832335 писал(а):
Вот из этого и исходите.
А. Т.е. надо искать в виде $x=x_0+\delta_1+\delta_2$ с учётом честного $x_0^2+x_0-1=0$, где $\delta_1\propto\varepsilon\ ,\ \delta_2\propto\varepsilon^2$ при известном $\delta_1$ и отсюда искать решение?

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group