Квадратное уравнение

[r0ma]

Допустим, есть уравнение с малым параметром эпсилон вида:

$$x^2+x+1+\varepsilon+\varepsilon^2=0$$

Верно ли будет, что после того как найду первую поправку к нулевому уравнению (когда эпсилон равна нулю), следующее решение искать как поправку к новому решению (к решению с учётом первой степени эпсилон), приняв $x^2+x+1+\varepsilon=0$ за нулевое уравнение?

[mihailm]

Что такое "первая поправка к нулевому уравнению (когда эпсилон равна нулю)"?
Найдите ее, пожалуста, в данном случае

[r0ma]

mihailm в сообщении #832228 писал(а):

Что такое "первая поправка к нулевому уравнению (когда эпсилон равна нулю)"?
Найдите ее, пожалуста, в данном случае

Не, не, данный случай - это прстой пример. Просто моё квадратное уравнение куда более громоздко, я просто хотел спросить про принцип. Верно ли это. Т.к. надо учесть ещё поправку второго порядка.
Уравнение я написал не очень хорошее. Пусть будет другое

$$x^2+x-1+\varepsilon+\varepsilon^2=0$$

Мой вопрос состоит в нахождении решения вот этого уравнения по теории возмущений. Для этого я сначала решаю

$$x^2+x-1=0$$

и нахожу корни $x_0$ - нулевое решение.
Далее я включаю возмущение:

$$x^2+x-1+\varepsilon=0$$

и к нулевому решению добавляю малую поправку: $x_1=x_0+\delta_1.$
Подставляю и нахожу эту дельту.
Вопрос такой, что чтобы учесть $\varepsilon^2$ будет ли верным найденное $x_1$ считать как новое нулевое решение уравнения $x^2+x-1+\varepsilon=0$ и искать к нему новую поправку $x_2=x_1+\delta_2$?

[ИСН]

Ну Вы же понимаете, что поправка первого порядка от $\varepsilon^2$ будет в том же размерном классе, что и поправка второго порядка от $\varepsilon$. То есть считать одну без другой нет смысла.

[r0ma]

ИСН, да, понимаю.
В первом сообщении я не дописал, что $\delta_1\propto\varepsilon$, а $\delta_2\propto\varepsilon^2$. При этом я пренебрегаю порядками выше второго, которые возникнут в ходе подстановки. Разве это неверно? Не помню когда последний раз решал подобные уравнения, подзабыл.

[ИСН]

Выше второго - пренебрегайте на здоровье.

[r0ma]

Так мне всё-таки интересно. Пусть есть это же уравнение.

$$x^2+x-1+\varepsilon+\varepsilon^2=0$$

На его примере распишу подробнее как я решал своё аналогичное.
Сначала ищем корни нулевого уравнения.

$$x^2+x-1=0$$

$$x_0=\frac12\left(-1\pm\sqrt5\right)$$

Далее, включаю возмущение и ищу поправку к нулевому корню $\delta_1\propto\varepsilon$.

$$x^2+x-1+\varepsilon=0$$

$$x_1=x_0+\delta_1$$

Подставляя

$$2x_0\delta_1+\delta_1+\varepsilon=0$$

Отсюда:

$$\delta_1=-\frac{\varepsilon}{2x_0+1}.$$

Вроде так. Это я понимаю и делал сто раз. Неуверен в рассуждениях я, когда надо учесть следующий порядок эпсилон. Т.к. нечасто сталкивался с подобным. Почти всегда мне было достаточно низшего порядка малости.

Теперь мне надо учесть $\varepsilon^2.$ Для этого я ищу новое решение как:

$$x_2=x_1+\delta_2$$

где

$$\delta_2\propto\varepsilon^2$$

Подставляю.

$$x_1^2+2x_1\delta_2+x_1+\delta_2-1+\varepsilon+\varepsilon^2=0$$

С учётом того, что $x_1$ удовлетворяет уравнению:

$$x^2+x-1+\varepsilon=0$$

получаю окончательно, что

$$\delta_2=-\frac{\varepsilon^2}{2x_0+1}$$

PS $x_1=x_0+\delta_1$, $2x_1\delta_2=2(x_0+\delta_1)\delta_2$ и $2\delta_1\delta_2$ пренебрёг, т.к. это следующий порядок малости по эпсилон .
Это верно?

[ИСН]

r0ma в сообщении #832322 писал(а):

$2x_1\delta_2$ пренебрёг, т.к. это следующий порядок малости по эпсилон.
Это верно?

Нет. С каких это вдруг? $x_1$ же не малое число.

[r0ma]

ИСН
я поправил. Посмотрите ещё раз конец моего сообщения.

[ИСН]

ага, теперь лучше, но есть ещё нюанс

[r0ma]

ИСН
поправил ещё раз. Или Вы уже про что-то другое?

[ИСН]

Другое. Вы предполагаете, что $x_1$ является точным корнем уравнения. А ведь хрен!

[r0ma]

ИСН в сообщении #832331 писал(а):

А ведь хрен!

В этом-то я и сомневался. Не зря. А как быть?

[ИСН]

Не предполагать. Вы что точно знаете? Что $x_0$ является точным корнем невозмущённого уравнения, а $x_1$ отличается от него на поправочку первого порядка, тоже известную. Вот из этого и исходите.

[r0ma]

ИСН в сообщении #832335 писал(а):

Вот из этого и исходите.

А. Т.е. надо искать в виде $x=x_0+\delta_1+\delta_2$ с учётом честного $x_0^2+x_0-1=0$, где $\delta_1\propto\varepsilon\ ,\ \delta_2\propto\varepsilon^2$ при известном $\delta_1$ и отсюда искать решение?