О движении бусинки на стержне

[spherical cow]

Допустим что у нас есть гладкий стержень, который вращается в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью, и на него насажена бусинка. Пусть в начальный момент времени скорость бусинки равна $v_0$, а ее начальное расстояние до центра вращения $x_0$. В неинерциальной системе отсчета на нее будет действовать центробежная сила, а сила Кориолиса будет перпендикулярна стержню. Тогда уравнение движения бусинки будет таким:
$x'' = \omega^2 x$
Собственно не могу понять как решить этот диффур. Вроде логично предположить что тут будет экспонента:
$x(t)=Ae^{mt}$
Подставляя это в уравнение, получаем, что $m=\omega$. Из начальных условий $A=x_0$. Однако начальная скорость не обязательно равна $\omega A$, и не могу понять как подобрать коэффициенты, что бы удовлетворить начальным условиям. В чем тут проблема? На ум приходит только мысль, что само решение в виде экспоненты неправильно, и может быть правильно только в одном случае равенства скорости $\omega A$. Но какое тогда будет правильно решение?

[Утундрий]

spherical cow в сообщении #828900 писал(а):

Подставляя это в уравнение, получаем, что $m=\omega$.

Второе значение потеряли.

[spherical cow]

Утундрий в сообщении #828902 писал(а):

spherical cow в сообщении #828900 писал(а):

Подставляя это в уравнение, получаем, что $m=\omega$.

Второе значение потеряли.

Да, действительно, но это по-моему не решает тот вопрос, который я задал.

[Утундрий]

spherical cow в сообщении #828907 писал(а):

это по-моему не решает тот вопрос, который я задал.

А по-моему решает.

[spherical cow]

Утундрий в сообщении #828908 писал(а):

spherical cow в сообщении #828907 писал(а):

это по-моему не решает тот вопрос, который я задал.

А по-моему решает.

Кажется понял, там будет сумма двух экспонент с разными коэффициентами, в одной будет $+\omega$, в другой $-\omega$. Спасибо)

[Утундрий]

spherical cow в сообщении #828912 писал(а):

там будет сумма двух экспонент с разными коэффициентами

Не могу не усомниться в том, что отрицание этого высказывания истинно.

[spherical cow]

Утундрий в сообщении #828915 писал(а):

spherical cow в сообщении #828912 писал(а):

там будет сумма двух экспонент с разными коэффициентами

Не могу не усомниться в том, что отрицание этого высказывания истинно.

У меня такое решение получилось:
$x(t) = \frac12(x_0+v_0/\omega)e^{\omega t} + \frac12(x_0-v_0/\omega)e^{-\omega t}$
Разве нет?

[Утундрий]

spherical cow в сообщении #828920 писал(а):

Разве нет?

Ответьте сами. Это такая маленькая подзадача: согласился я или наоборот?

[spherical cow]

Утундрий в сообщении #828921 писал(а):

spherical cow в сообщении #828920 писал(а):

Разве нет?

Ответьте сами. Это такая маленькая подзадача: согласился я или наоборот?

Не могу отрицать отсутствие отрицания вами верности моего утверждения.

[Утундрий]

В таком вот аксепте.

[nikvic]

Можно начать с другого. Во вращающейся системе отсчёта центробежка потенциальна, Кориолис не работает - и квадрат относительной скорости связывается с квадратом радиуса.

[Skeptic]

Решение см. Иродов И.Е. Основные законы механики, стр.61, задача 2.10.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами см. в любом курсе лекций по дифференциальным уравнениям, содержащем решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

[guryev]

А в релятивистском варианте эллиптические функции получаются ...