2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Аксиоматика - нужен совет
Сообщение18.02.2014, 23:46 
Можно совет от разбирающихся людей?
Судя по всему(личные представления и вроде как Гёдель) докопаться до "аксиом всей математики" то ли невозможно, то ли очень трудно(но скорее первое).

Но! Было бы очень неплохо взять некую систему, на которой многое держится, и от неё фигачить силлогизмы
Какие книги вы порекомендуете, чтобы прямо вот теоремками от самого низа до основных всех математических объектов (например до теории чисел, и до классического анализа, и до геометрий, до всякой дискретки, и до тервера - последнее самое главное)
Я понимаю, что это моя обязанность - всё по полочкам расфасовывать, но вдруг есть что подобное.

Я немного читал Бурбаки(теорию множеств, в основном), однако вроде как они устарели (в чём? - тоже вопрос)
Какие есть аналоги? - очень хочется почитать стройную систему не путать причину и следствие

Цель - наведение порядка в мозге, в котором много всякой всячины.

Ещё вопрос - где можно почитать про сами аксиоматики и их проблемы (на качественном уровне хотя бы, что бы представлять что есть что)

 
 
 
 Re: Аксиоматика - нужен совет
Сообщение19.02.2014, 20:38 
Аватара пользователя
Идея Николы Бурбаки состояла в унификации архитектуры всей математики. Однако, я согласен с Muninом в том, что «эта программа была реализована во второй трети 20 века, и тогда же – сметена бурным валом новых тенденций. Так что сегодня математика существует уже в пост-бурбакистском мире, и возможно даже, в пост-пост-бурбакистском». Я думаю, что сейчас теория множеств является единым фундаментом преобладающей части современной математики. Однако, идея механического формального вывода из аксиоматики представляется мне малоперспективной, как для получения существенных математических результатов, так и их понимания (и, таким образом, мало способствуют наведению порядка в голове). Формальный вывод из простых аксиом формальной арифметики даже таких элементарных вещей как коммутативность умножения натуральных чисел весьма громоздок. Сейчас обычно доказательства, получаемые и принимаемые работающими математиками в какой-либо области математики хоть и являются дедуктивными следствиями из предыдущих аксиом и теорем, но их строгость состоит не в формальном выводе, а в их соответствии математической интуиции – правильным способам математического рассуждения в данной области. И хотя разные области математики могут иметь различные собственные интуиции, но единый фундамент математики позволяет использовать результаты из одной ее области в другой, например, из топологии в функциональном анализе.


Цитата:
Какие книги вы порекомендуете, чтобы прямо вот теоремками от самого низа до основных всех математических объектов (например до теории чисел, и до классического анализа, и до геометрий, до всякой дискретки, и до тервера - последнее самое главное)

С учетом написанного выше и ограниченности моего знания математики, я могу предложить Вашему вниманию следующие книги, которые можно поискать, например, здесь: Р. Энгелькинг «Общая топология», Карл Фейс «Алгебра: кольца, модули и категории», А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин «Элементы теории функций и функционального анализа», Николай Владимирович Ефимов «Высшая геометрия». Первые три книги имеют теоретико-множественное введение. Я думаю, что подобные книги по теорверу тоже должны быть, поскольку есть аксиоматика Колмогорова теории вероятностей.

Цитата:
где можно почитать про сами аксиоматики и их проблемы (на качественном уровне хотя бы, что бы представлять что есть что)

Я могу предложить Вашему вниманию нигу Карла Подниекса «Вокруг теоремы Геделя». Я смутно припоминаю, что в ней были некоторые ляпы, но мне кажется, что, в общем, книга читабельная.

 
 
 
 Re: Аксиоматика - нужен совет
Сообщение19.02.2014, 22:06 
Э. Мендельсон. Введение в математическую логику.

 
 
 
 Re: Аксиоматика - нужен совет
Сообщение19.02.2014, 22:47 
Аватара пользователя
Yorick в сообщении #828252 писал(а):
Было бы очень неплохо взять некую систему, на которой многое держится, и от неё фигачить силлогизмы
Вроде бы компьютерные системы, которые "фигачат силлогизмы" уже давно существуют: http://en.wikipedia.org/wiki/Automated_theorem_proving

Другой вопрос - насколько эти силлогизмы содержательны?

 
 
 
 Re: Аксиоматика - нужен совет
Сообщение19.02.2014, 23:35 
Stan Slapenarski в сообщении #828601 писал(а):
Идея Николы Бурбаки состояла в унификации архитектуры всей математики. Однако, я согласен с Muninом в том, что «эта программа была реализована во второй трети 20 века, и тогда же – сметена бурным валом новых тенденций. Так что сегодня математика существует уже в пост-бурбакистском мире, и возможно даже, в пост-пост-бурбакистском». Я думаю, что сейчас теория множеств является единым фундаментом преобладающей части современной математики. Однако, идея механического формального вывода из аксиоматики представляется мне малоперспективной, как для получения существенных математических результатов, так и их понимания (и, таким образом, мало способствуют наведению порядка в голове). Формальный вывод из простых аксиом формальной арифметики даже таких элементарных вещей как коммутативность умножения натуральных чисел весьма громоздок. Сейчас обычно доказательства, получаемые и принимаемые работающими математиками в какой-либо области математики хоть и являются дедуктивными следствиями из предыдущих аксиом и теорем, но их строгость состоит не в формальном выводе, а в их соответствии математической интуиции – правильным способам математического рассуждения в данной области. И хотя разные области математики могут иметь различные собственные интуиции, но единый фундамент математики позволяет использовать результаты из одной ее области в другой, например, из топологии в функциональном анализе.

Есть же Унивалентные основания математики. Там как раз собираются бремя доказательств переложить на плечи компьютеров и вроде бы дела у филдсовского лауреата Воеводского продвигаются неплохо. Недавно книгу закончил: Воеводский. Homotopy Type Theory - Univalent Foundations of Mathematics. 2013
Мне вывод коммутативности умножения натуральных чисел показался абсолютно прозрачным, буквально шесть строчек, если не считать переносы стр. 92 Феферман. Числовые системы. Но это ладно, наверно вы хотели сказать про построение всей числовой системы натуральных чисел. Но там нет ничего сложного и не такая уж она и большая. Но я не про это. Ведь нет необходимости все все время доказывать с нуля из начальных аксиом. Можно ведь уже пользоваться раз таким способом доказанным как готовым кирпичом, вернее так и происходит на практике. Вы наверно хотели сказать о совместности дополнительных посылок в существующих теориях с аксиомами, нет?

 
 
 
 Re: Аксиоматика - нужен совет
Сообщение20.02.2014, 00:00 
Аватара пользователя

(Шизофазия?)

Tor в сообщении #828641 писал(а):
Мне вывод коммутативности умножения натуральных чисел показался абсолютно прозрачным, буквально шесть строчек, если не считать переносы стр. 92 Феферман. Числовые системы. Но это ладно, наверно вы хотели сказать про построение всей числовой системы натуральных чисел. Но там нет ничего сложного и не такая уж она и большая. Но я не про это. Ведь нет необходимости все все время доказывать с нуля из начальных аксиом. Можно ведь уже пользоваться раз таким способом доказанным как готовым кирпичом, вернее так и происходит на практике. Вы наверно хотели сказать о совместности дополнительных посылок в существующих теориях с аксиомами, нет?

http://ru.wikipedia.org/wiki/Шизофазия

 
 
 
 Re: Аксиоматика - нужен совет
Сообщение20.02.2014, 00:21 

(Мы вас и от этого вылечим)

Dan B-Yallay
Что опять нечего сказать по-существу? Обидно? Привыкайте. :lol:

 
 
 
 Re: Аксиоматика - нужен совет
Сообщение20.02.2014, 00:23 
Аватара пользователя
Dan B-Yallay в сообщении #828649 писал(а):
http://ru.wikipedia.org/wiki/ Шизофазия
 !  Dan B-Yallay, замечание за личные выпады.

 
 
 
 Re: Аксиоматика - нужен совет
Сообщение20.02.2014, 00:48 
Аватара пользователя
Tor в сообщении #828653 писал(а):
Что опять нечего сказать по-существу? Обидно? Привыкайте.
По существу темы, открытой ТС, я уже высказался.
На что, кого обижаться? К чему надо привыкать? У вас снова что-то с логикой.
А то что ваш пост у меня ассоциируется с чем-то посторонним - примите мои извинения. Виноват, не сдержался, уж очень напоминает.
За что и получил справедливое преду.... замечание.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group