2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение12.02.2014, 20:51 
ex-math в сообщении #825637 писал(а):
Можно определить его аналогично риманову, разбивая область определения,

Теорекхтицски -- не исключаю, что и можно; пракхтицски же -- нельзя.

Проблема в том, что в римановой конструкции вообще не заложено ни малейшей концепции меры.

ex-math в сообщении #825637 писал(а):
Для интеграла Римана это мера Жордана, для лебегова -- более гибкая и универсальная мера Лебега.

И аналогично: для интеграла Римана вообще никакого понятия меры не предполагается, даже и Жордана (ну разве что какое-то интуитивное).

-- Ср фев 12, 2014 21:54:09 --

g______d в сообщении #825679 писал(а):
О, да, я от кого-то давно слышал про это заблуждение, и давно хотел спросить: бывает ли интеграл Лебега по мере Жордана?

Вот именно. И именно потому не бывает, что мера Жордана -- это, строго говоря, и вовсе никакая не мера.

 
 
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение12.02.2014, 22:15 
Аватара пользователя
ewert
Хорошо, а если я построю интегральную сумму "по Лебегу", а меры прообразов буду брать жордановы, что получится?

 
 
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение12.02.2014, 22:25 
а если я скрещу ужа с ежом -- то что получится?...

Строго говоря -- не исключено, что хоть чего-нибудь да и получится. Чудеса всякие случаются.

 
 
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение12.02.2014, 22:27 
Аватара пользователя
По-видимому, можно так: определяем для простых функций (т. е. линейных комбинаций индикаторных функций измеримых множеств), потом распространяем на функции, которые можно равномерно приблизить простыми. Любую измеримую по Лебегу функцию можно приблизить простыми как раз с помощью разбиения области значений.

Равномерное замыкание множества простых функций по мере Жордана, по-видимому, совпадает со множеством функций, интегрируемых по Риману, т. е. непрерывных почти везде. Хотя я не проверял, так ли это. Для простоты рассматриваем только ограниченные функции на конечных интервалах.

 
 
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение12.02.2014, 22:29 
g______d в сообщении #825741 писал(а):
Равномерное замыкание множества простых функций по мере Жордана, по-видимому, совпадает со множеством функций, интегрируемых по Риману

нет. Лоран Шварц Анализ

 
 
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение12.02.2014, 22:43 
Да кустарщина всё это какая-то.

 
 
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение13.02.2014, 00:08 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #825743 писал(а):
нет. Лоран Шварц Анализ


А можно ссылку или хотя бы описание замыкания этого множества? Я сходу не нашел, там много страниц.

-- 13.02.2014, 01:18 --

ewert в сообщении #825740 писал(а):
а если я скрещу ужа с ежом -- то что получится?...

Строго говоря -- не исключено, что хоть чего-нибудь да и получится. Чудеса всякие случаются.


Странный подход. Ну либо Вы принципиально не хотите в таких темах писать что-то, кроме присутствующего в учебниках для студентов.

По-моему, вполне естественный вопрос, скорее всего, с известным ответом: существует ли абстрактная конструкция, объединяющая основные определения интегралов. В моем исполнении, может быть, и кустарщина, поэтому и спрашиваю, не думал ли на этим кто поумнее.

 
 
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение13.02.2014, 00:27 
ewert в сообщении #825695 писал(а):
для интеграла Римана вообще никакого понятия меры не предполагается, даже и Жордана (ну разве что какое-то интуитивное).

В Кудрявцеве кратный интеграл Римана определяется через разбиения области интегрирования на измеримые по Жордану куски.
ewert в сообщении #825695 писал(а):
мера Жордана -- это, строго говоря, и вовсе никакая не мера.

В широком смысле всё-таки мера. Не $\sigma$-аддитивная, а просто аддитивная, и не на $\sigma$-алгебре, а на просто алгебре. Почему такие меры не подходят для построения интеграла всё ещё не понятно.
ewert в сообщении #825749 писал(а):
Да кустарщина всё это какая-то.

Понимание того, почему наивные подходы к определению интеграла в произвольном измеримом пространстве не работают, возможно, помогло бы лучше понять смысл интеграла Лебега.

 
 
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение13.02.2014, 09:35 
djuuj в сообщении #825765 писал(а):
В Кудрявцеве кратный интеграл Римана определяется через разбиения области интегрирования на измеримые по Жордану куски.

Для кратного -- да. В чём проблема с кратными интегралами? Когда мы говорим о произвольных разбиениях, необходимо указать, на какие именно куски мы имеем право разбивать область (в одномерном случае такой проблемы нет). Т.е. необходимо всё-таки формально указать, какие множества считаются имеющими площадь, хоть в каком-нибудь смысле. Так вот мера Жордана только для наведения формального порядка и нужна -- только для того, чтобы придать определению интеграла точный смысл (хотя в первом приближении её можно и проигнорировать, ограничившись интуитивными представлениями о площади).

djuuj в сообщении #825765 писал(а):
Не $\sigma$-аддитивная, а просто аддитивная, и не на $\sigma$-алгебре, а на просто алгебре. Почему такие меры не подходят для построения интеграла всё ещё не понятно.

Мне это тоже не понятно. Почему не подходят? Они вполне подходят. Просто функциональные пространства при этом оказываются неполными относительно интегральных норм. Для конкретных расчётов это не имеет ни малейшего значения, а вот для теории -- крайне плохо.

 
 
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение13.02.2014, 13:48 
Аватара пользователя
Просто при такой расстановке акцентов создается впечатление, что гениальная идея Лебега -- это именно разбиение области значений. Но главное-то не в этом, а в создании теории меры.

 
 
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение13.02.2014, 14:18 
ex-math в сообщении #825849 писал(а):
создается впечатление, что гениальная идея Лебега -- это именно разбиение области значений.

А оно так и есть. Придумывание меры -- это уже вынужденный шаг, к тому же не несущий в себе ничего революционного по сравнению с мерой Жордана. Подумаешь, счётная аддитивность добавилась; а зачем она нужна-то?... А вот ровно для новой конструкции интеграла и нужна.

 
 
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение13.02.2014, 16:16 
Счётная аддитивность придаёт интегралу приятные свойства, например, полноту пространства абсолютно интегрируемых функций, но для определения интеграла она не нужна.

 
 
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение13.02.2014, 17:02 
g______d в сообщении #825762 писал(а):
А можно ссылку или хотя бы описание замыкания этого множества? Я сходу не нашел, там много страниц.

а разве функция $f(x)=\sin(1/x),\quad x\ne 0,\qquad f(0)=0,\quad x\in [-1,1]$ не является контрпримером к Вашему утверждению?

 
 
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение13.02.2014, 17:43 
mishafromusa в сообщении #825918 писал(а):
но для определения интеграла она не нужна.

Не нужна. Но без прицела на неё и само это определение (как новое) никому не нужно.

 
 
 
 Re: Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега
Сообщение13.02.2014, 17:46 
Я бы посоветовал 2 книжки на эту тему. 1) Колмогоров и Фомин: Элементы теории функций и функционального анализа. 2) Шилов и Гуревич: Интеграл, мера и производная.

 
 
 [ Сообщений: 116 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group