Задача из квола по вещественному анализу

[Red_Herring]

Согласно моим источникам сл. задача была предложена в сентябре 2009 на кволе по вещественному анализу в Харварде (для только что поступивших аспирантов-математиков):

Цитата:

Доказать что граница замыкания любого открытого множества (в $\mathbb{R}$) имеет меру 0.

[mihailm]

Берем нигде не плотное замкнутое множество положительной меры, его дополнение разве не будет давать отрицание утверждения?

[kp9r4d]

Замыкание — это объединение с границей.
Все граничные точки можно разбить на два класса, назовём их условно:
а) Чистые граничные точки — это те граничные точки, у которых любая окрестность содержит точку из внешности $A$.
б) Грязные граничные точки — это те граничные точки, у которых существует окрестность целиком состоящая из точек внутренности $A$ и граничных точек $A$.
Легко проверить, что после замыкания «чистые граничные точки» перейдут в граничные точки замыкания, а «грязные граничные точки» перейдут в точки внутренности замыкания.
При этом никаких других граничных точек, кроме тех, что перешли из «чистых граничных точек» не существует.
Каждая «чистая граничная точка» связана с некоторой окрестностью, поэтому их можно пересчитать. То есть граница замыкания множества на прямой — счётное множество точек.
Моё доказательство никак не использует открытости $A$, поэтому, скорее всего, неправильно. Однако я никак не могу придумать контрпримера такого множества $A$, у которого $\partial \operatorname{Cl} A$ — не нулевой меры.
Прошу привести контрпример или указать мне на ошибку.

mihailm в сообщении #824630 писал(а):

Берем нигде не плотное замкнутое множество положительной меры, его дополнение разве не будет давать отрицание утверждения?

Не обязано, ведь замыкание дополнения $A$, не должно cовпадать с $A$, даже если $A$ замкнутое. Вы ведь «Жирного Кантора» имеете в виду? Но ведь, вроде как, замыкание дополнения канторовского множества — вся прямая.

[mihailm]

kp9r4d в сообщении #824635 писал(а):

...Но ведь, вроде как, замыкание дополнения канторовского множества — вся прямая.

Точно! облажался)

[ivvan]

Если рассмотреть объединение интервалов, выкидываемых на чётных итерациях построения Smith–Volterra–Cantor_set, будет ли мера границы замыкания нулевой?

[Руст]

В $R$ любое открытое множество есть объединение интервалов, непересекающихся всего счетное множество.
Любое счетное множество имеет меру ноль.

[kp9r4d]

Руст в сообщении #824670 писал(а):

В $R$ любое открытое множество есть объединение интервалов, непересекающихся всего счетное множество.

Но будет ли из этого следовать, что граничных точек тоже счётное множество? Ведь граничная точка открытого множества на прямой не обязана, вообще говоря, быть концом какого-то интервала входящего в это самое открытое множество. Пример — дополнение канторового множества. Все точки канторового множества будут граничными по отношению к дополнению канторового множества, так ведь?

ivvan в сообщении #824663 писал(а):

Если рассмотреть объединение интервалов, выкидываемых на чётных итерациях построения Smith–Volterra–Cantor_set
, будет ли мера границы замыкания нулевой?

Почему нет? Такая конструкция, вроде как, не очень интересная потому что там, вообще говоря, все граничные точки будут как раз концами этих самых интервалов.

[ivvan]

kp9r4d в сообщении #824676 писал(а):

Такая конструкция, вроде как, не очень интересная потому что там, вообще говоря, все граничные точки будут как раз концами этих самых интервалов.

А остальные точки имеют окрестность, не пересекающуюся с интервалами? Или я неправильно понимаю слово "граница"?

[kp9r4d]

ivvan в сообщении #824688 писал(а):

А остальные точки имеют окрестность, не пересекающуюся с интервалами? Или я неправильно понимаю слово "граница"?

Нет, прошу прощения, я неправильно понял конструкцию. Мне она известна под названием «жирный кантор» и проблема тут другая, та же самая, что и у обычного кантора, а именно: замыкание такого множества интервалов даст отрезок, граница такого отрезка — две точки.

[ivvan]

Даже если брать интервалы только чётных итераций?

[kp9r4d]

Снова я поспешил, не знаю, пример интересный.

[Руст]

Все Канторово множество не является границей его дополнения (открытого множества).

[kp9r4d]

Но почему? Ведь окрестность любой точки канторового множества содержит ещё одну точку канторового множества. То есть: окрестность любой точки КМ содержит как точки из КМ так и точки не из КМ, значит — любая точка КМ граничная по отношению к дополнению КМ, разве нет?

[g______d]

Руст в сообщении #824711 писал(а):

Все Канторово множество не является границей его дополнения (открытого множества).

Является. Нигде не плотное – значит, дополнение плотно, т. е. замыкание дополнения – весь отрезок. Все точки дополнения являются внутренними, следовательно, граница дополнения состоит из точек замыкания дополнения, не принадлежащих самому дополнению, т. е. совпадает с дополнением к дополнению и является в точности канторовским множеством.

[patzer2097]

ivvan в сообщении #824663 писал(а):

Если рассмотреть объединение интервалов, выкидываемых на чётных итерациях построения Smith–Volterra–Cantor_set, будет ли мера границы замыкания нулевой?

нет
и это дает (как я понимаю) контрпример к задаче ТС