Неразрешимое множество

[MestnyBomzh]

Функция: $\sin(1/x)+x=y$. С преподавателем возникла дисскуссия, будет ли множество значений функции разрешимым. Я так и не понял, почему будет... Ведь если мы подставим вместо $y$, например $2$, мы не сможем, аналитически решая, сказать, существует ли $x$ такой, что $f(x)=2$... Или сможем?

[patzer2097]

MestnyBomzh в сообщении #824405 писал(а):

Ведь если мы подставим вместо $y$, например $2$, мы не сможем, аналитически решая, сказать, существует ли $x$ такой, что $f(x)=2$... Или сможем?

а Вы график Вашей функции видели, вообще?

а по поводу "разрешимости" было бы хорошо, если бы Вы объяснили нам, в каком смысле ее понимаете. или прочитали ее определение в учебнике и сами увидели, имеет ли Ваш вопрос какой-нибудь смысл

[MestnyBomzh]

Я, конечно же, имел в виду какое-нибудь трансцендентное уравнение. Хорошо, давайте тогда возьмем $y=\ln(x)-x^x$. Под неразрешимостью я понимаю такую ситуацию, когда мы не можем определелить, принадлежит ли элемент множеству. Я беру множество: множество значений функции $y=\ln(x)-x^x$, и элемент $2$. И, как я думаю, мы не можем сказать, принадлежит ли этот элемент такому множеству

[patzer2097]

MestnyBomzh в сообщении #824497 писал(а):

Я беру множество: множество значений функции $y=\ln(x)-x^x$, и элемент $2$. И, как я думаю, мы не можем сказать, принадлежит ли этот элемент такому множеству

действительно. "Берем множество, состоящее только из отрицательных чисел, и элемент $2$. И, как я думаю, мы не можем сказать, принадлежит ли этот элемент такому множеству"
Я думаю, Вы все-таки интересовались чем-то другим. Постарайтесь все-таки сформулировать правильно, чем.

[MestnyBomzh]

patzer2097, ну для меня вообще не очевидно, что $y=\ln(x)-x^x$ состоит только из отрицательных чисел. Конечно, это можно на вскидку сказать. Ну хорошо, давайте возьмем $y=x!-x^x$, здесь уж точно на вскидку не скажешь. У функции есть область ее значений: все значения, которые может принимать $y$. Так вот, множество называется разрешимым, если мы можем определить, принадлежит ли какой-то элемент данному множеству (и неразрешимым наоборот). Вот я и говорю, что множество значений функции $y=\ln(x)-x^x$ является неразрешимым, так как, взяв произвольное число, мы не сможем точно сказать, принадлежит ли оно нашему множеству (в данном случае множеству значений функции)

[Xaositect]

Ну, учитывая, что факториал определен только для натуральных чисел и $n! \leqslant n^n$, и $n! - n^n$ монотонна, тут тоже все несложно.

[MestnyBomzh]

ну нет у меня достаточного опыта, чтобы привести хорошй пример. Но я думаю, что вы поняли, что я имею в виду

[_Ivana]

Насколько я вижу, вы привели 3 примера, 2 из которых являются непрерывными функциями, для которых есть теоре́ма Больца́но — Коши́. Над хорошим примером придется подумать еще.

[Xaositect]

MestnyBomzh в сообщении #824513 писал(а):

ну нет у меня достаточного опыта, чтобы привести хорошй пример. Но я думаю, что вы поняли, что я имею в виду

Тут вещь такая.
Если у нас функция достаточно хорошая, то можно найти у нее участки непрерывности, на каждом из этих участков найти максимумы, минимум и пределы на границах со сколь угодно высокой точностью, а дальше все просто - непрерывная функция принимает все значения от инфинума до супремума.

[MestnyBomzh]

Вообщем, нужная мне разрывная функция, причем, чем больше раз она разрывна, тем будет лучше?

[patzer2097]

MestnyBomzh, а зачем Вам вообще функции, - может хватит констант? Вот я напишу какое попало выражение $S$ без переменных, содержащее всякие синусы, логарифмы, экспоненты, константы $0$ и $1$ и ничего больше.
Может, Вы это имеете в виду: "сможем ли мы распознать, равно ли значение $S$ (например) нулю"?

Вообще же, чем отправлять посты вроде

MestnyBomzh в сообщении #824513 писал(а):

ну нет у меня достаточного опыта, чтобы привести хорошй пример. Но я думаю, что вы поняли, что я имею в виду

лучше постараться еще раз объяснить, что Вы хотите. Иначе опыта этого никогда и не появится.

[MestnyBomzh]

patzer2097 в сообщении #824555 писал(а):

Может, Вы это имеете в виду: "сможем ли мы распознать, равно ли значение $S$ (например) нулю"?

Нет, константы не подойдут, потому что мы сможем вычислить и проверить, равно ли полученное значение нулю, это не то. Хорошо, дайте я по другому сформулирую вопрос: существует ли такой $x$, при котором выражение равно(например) нулю? Если можно привести пример такой функции, когда мы не сможем сказать, существует или не существует $x:f(x)=0$=>множество значений будет неразрешимо(короче говоря, то что мне и нужно)Опять же, ноль я беру как частный случай!

[Xaositect]

MestnyBomzh в сообщении #824570 писал(а):

Нет, константы не подойдут, потому что мы сможем вычислить и проверить, равно ли полученное значение нулю, это не то.

Тут на самом деле большая проблема. Если разрешить использовать модули, то этого сделать нельзя - мы сможем вычислять и вычисять бесконечную последовательность нулей после запятой, но не сможем сказать, а не появятся ли там дальше ненулевые цифры. А если модулей не разрешать, то известные алгоритмы опираются на недоказанные теоретико-числовые гипотезы.

-- Вс фев 09, 2014 18:27:14 --

Поэтому мое предыдущее сообщение, конечно, несколько оптимистично. Но я там написал "достаточно хорошие функции" без объяснения, что это такое, так что не проблема.

[patzer2097]

MestnyBomzh в сообщении #824570 писал(а):

Нет, константы не подойдут, потому что мы сможем вычислить и проверить, равно ли полученное значение нулю

это Вам так кажется. есть известный результат об алгоритмической неразрешимости подобной проблемы

[MestnyBomzh]

patzer2097 в сообщении #824582 писал(а):

то Вам так кажется. есть известный результат

очень любопытно...а почему там говорится, что числа $\pi$ и $\ln(2)$ рациональные?