Преобразование метрик Пэнлэве к виду Крускала-Шекереса

[SergeyGubanov]

Хочу повторить программу преобразования а-ля Крускала-Шекереса с метрикой Шварцшильда, но только теперь с метрикой белой и чёрной дыры Пэнлэве.

Для чёрной дыры Пэнлэве:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr^2 + \sqrt{\frac{r_g}{r}} c \, dt \right)^2 - r^2 \left( d\theta^2 + \sin(\theta)^2 d \varphi^2 \right) \eqno(1)$$

подстановка

$$\xi = \exp \left( \frac{-c t + r + 2 \sqrt{r_g r}}{2 r_g} \right) \left( 1 - \sqrt{\frac{r}{r_g}} \right) \eqno(2)$$

$$\chi = \exp \left( \frac{+c t + r - 2 \sqrt{r_g r}}{2 r_g} \right) \left( 1 + \sqrt{\frac{r}{r_g}} \right) \eqno(3)$$

даёт а-ля Крускала-Шекереса в изотропных координатах

$$ds^2 = \frac{4 r_g^3 e^{-\frac{r}{r_g}}}{r} d\xi d\chi - r(\xi, \chi)^2 \left( d\theta^2 + \sin(\theta)^2 d \varphi^2 \right)$$

Для белой дыры Пэнлэве:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr^2 - \sqrt{\frac{r_g}{r}} c \, dt \right)^2 - r^2 \left( d\theta^2 + \sin(\theta)^2 d \varphi^2 \right) \eqno(4)$$

подстановка

$$\tilde \xi = \exp \left( \frac{+c t + r + 2 \sqrt{r_g r}}{2 r_g} \right) \left( 1 - \sqrt{\frac{r}{r_g}} \right) \eqno(5)$$

$$\tilde \chi = \exp \left( \frac{-c t + r - 2 \sqrt{r_g r}}{2 r_g} \right) \left( 1 + \sqrt{\frac{r}{r_g}} \right) \eqno(6)$$

даёт а-ля Крускала-Шекереса в изотропных координатах

$$ds^2 = \frac{4 r_g^3 e^{-\frac{r}{r_g}}}{r} d \tilde \xi d \tilde \chi - r(\tilde \xi, \tilde \chi)^2 \left( d\theta^2 + \sin(\theta)^2 d \varphi^2 \right) \eqno(7)$$

Координаты $\xi$, $\chi$ отличаются от $\tilde \xi$, $\tilde \chi$ заменой $t \to - t$.

По формулам (3) и (6) координата $\chi$ (и $\tilde \chi$) положительно определена, то есть пространство Пэнлеве покрывает одновременно лишь две из четырёх областей пространства Крускала-Шекереса.

[schekn]

В 1 и 4 формуле лишний квадрат в dr

[schekn]

Для начала все таки хотелось бы понять , как получены метрики (1) и (4) , при решении изначальной системы уравнений . У теоретиков сложилась практика: как-то (иногда эвристическим способом) найти хоть какое-то решение $R_{\mu}^{\nu}=0$ задачи, сформулированной в общем виде, а затем типа допустимыми преобразованиями координат получить все что угодно. А уже после этого ломать голову над физическим смыслом "нового" решения. Возникает вопрос, а почему решений Пенлеве (буду писать его фамилию по старинке) два , а не больше? Такой путь требует аккуратности и вообще говоря верен только локально в точке, а не во всем пространстве. Если где-то $g_{\mu\nu}$ не аналитична, то такие рассуждения неверны.
Скорее всего , если плясать от печки, необходимо добавить к основным уравнениям еще уравнения связи такого типа : $g_{00}=1$ и $g_{\theta\theta}=-r^2, g_{\varphi\varphi}=-r^2\sin^2{\theta}$ и отказаться от условия синхронности. После уже посмотреть - почему 2 решения и какие есть еще. Как нетрудно видеть, данная система совсем не такая , как ее составил бы Ландау, решая аналогичную задачу при других уравнениях связи ( например в стандартных координатах). Хотелось бы понять , как связаны при этом произвольные функции такого решения с произвольным функциями (и постоянными), возникшими при нахождении метрики в стандартных координатах и почему они не дают повода трактовать их как решения , отвечающие за другую физическую реальность? Может какие-нибудь и "серые" и "зеленые" дыры появятся?

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #822815 писал(а):

В 1 и 4 формуле лишний квадрат в dr

Да.

Ещё у $\tilde \xi$, $\tilde \chi$ надо заменить знак $\tilde \xi \to - \tilde \xi$, $\tilde \chi \to - \tilde \chi$ чтобы $\tilde \chi$ стала отрицательно определена, так как рост времени на рисунках принято изображать снизу вверх, соответственно белую дыру принято рисовать снизу.

schekn в сообщении #822947 писал(а):

Для начала все таки хотелось бы понять , как получены метрики (1) и (4) , при решении изначальной системы уравнений.

Это просто. В нерелятивистской механике переход в неинерциальную систему координат задаётся полем скоростей $V^i$:

$$ L = \frac{1}{2} m \gamma_{i j} \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt} \quad \to \quad L = \frac{1}{2} m \gamma_{i j} \left( \frac{dx^i}{dt} - V^{i} \right) \left( \frac{dx^j}{dt} - V^{j} \right)$$

Релятивизация этого даёт следующее:

$$ L = - m c^2 \sqrt{ 1 - \frac{1}{c^2} \gamma_{i j} \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt} } \quad \to \quad L = - m c^2 \sqrt{ 1 - \frac{1}{c^2} \gamma_{i j} \left( \frac{dx^i}{dt} - V^{i} \right) \left( \frac{dx^j}{dt} - V^{j} \right) }$$

Но последний Лагранжиан как раз и описывает движение в гравитационном поле вида

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \gamma_{i j} \left( dx^i - V^i dt \right) \left( dx^j - V^j dt \right)$$

Следовательно, логично было бы искать решение для гравитационного поля создаваемого, скажем, Землёй в виде:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr - V dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

где $V(r)$ - неизвестная функция. Подставляем этот анзац в уравнения $R_{\mu \nu} = 0$ и получаем $V(r) = \pm c \sqrt{\frac{r_g}{r}}$.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #822998 писал(а):

Подставляем этот анзац в уравнения $R_{\mu \nu} = 0$ и получаем $V(r) = \pm c \sqrt{\frac{r_g}{r}}$.

Не проверял, но поверю. А как возникла постоянная $r_g$?

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #823002 писал(а):

А как возникла постоянная $r_g$?

Как константа интегрирования. Её выражение через массу тяготеющего тела $r_g = 2 k M / c^2$ получается из сравнения, при предельном переходе обратно к нерелятивистскому Лагранжиану, с теорией тяготения Ньютона.

[SergeyGubanov]

Нарисовал картинки. Увидел, что белая дыра Пэнлеве и чёрная дыра Пэнлеве отделены друг от друга бесконечностью по времени Пэнлеве.

Чёрная дыра Пэнлеве

Исходная метрика:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left(dr + \sqrt{\frac{r_g}{r}} \, c \, dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

В изотропных координатах:

$$\chi = \exp \left( \frac{+ c t + r - 2 \sqrt{r_g r}}{2 r_g} \right) \left( 1 + \sqrt{\frac{r}{r_g}} \right)$$

$$\xi = \exp \left( \frac{- c t + r + 2 \sqrt{r_g r}}{2 r_g} \right) \left( 1 - \sqrt{\frac{r}{r_g}} \right)$$

$$ds^2 = \frac{4 r_g^3}{r} \exp\left(-\frac{r}{r_g}\right) d\xi d\chi - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

В координатах традиционной ориентации:

$$\tau = \frac{1}{2} \left( \chi + \xi \right)$$

$$\sigma = \frac{1}{2} \left( \chi - \xi \right)$$

$$ds^2 = \frac{4 r_g^3}{r} \exp\left(-\frac{r}{r_g}\right) \left( d\tau^2 - d\sigma^2 \right) - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

Картинка:

Сплошные линии: поверхности $r = \operatorname{const}$
Пунктирные линии: поверхности $t = \operatorname{const}$
Красная пунктирная левая диагональ: бесконечно далёкое прошлое $t = - \infty$
Сплошная правая диагональ: $r = r_g$


Белая дыра Пэнлеве

Исходная метрика:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left(dr - \sqrt{\frac{r_g}{r}} \, c \, dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

В изотропных координатах:

$$\chi = - \exp \left( \frac{- c t + r - 2 \sqrt{r_g r}}{2 r_g} \right) \left( 1 + \sqrt{\frac{r}{r_g}} \right)$$

$$\xi = - \exp \left( \frac{+ c t + r + 2 \sqrt{r_g r}}{2 r_g} \right) \left( 1 - \sqrt{\frac{r}{r_g}} \right)$$

$$ds^2 = \frac{4 r_g^3}{r} \exp\left(-\frac{r}{r_g}\right) d\xi d\chi - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

В координатах традиционной ориентации:

$$\tau = \frac{1}{2} \left( \chi + \xi \right)$$

$$\sigma = \frac{1}{2} \left( \chi - \xi \right)$$

$$ds^2 = \frac{4 r_g^3}{r} \exp\left(-\frac{r}{r_g}\right) \left( d\tau^2 - d\sigma^2 \right) - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

Картинка:

Сплошные линии: поверхности $r = \operatorname{const}$
Пунктирные линии: поверхности $t = \operatorname{const}$
Красная пунктирная левая диагональ: бесконечно далёкое будущее $t = + \infty$
Сплошная правая диагональ: $r = r_g$


Белая и чёрная дыра Пэнлеве вместе

Сплошные линии: поверхности $r = \operatorname{const}$
Пунктирные линии: поверхности $t = \operatorname{const}$
Красная пунктирная левая диагональ: бесконечно далёкое будущее $t = + \infty$ для вселенной белой дыры Пэнлеве
и, одновременно, бесконечно далёкое прошлое $t = - \infty$ для вселенной чёрной дыры Пэнлеве.
Сплошная правая диагональ: $r = r_g$


Белая дыра Пэнлеве и чёрная дыра Пэнлеве отделены друг от друга бесконечностью по времени Пэнлеве.

(Программа на Mathematica)

L = 7;
W = 3;
dT = 0.4;
NT = 15;
dR = 0.1;
NR = 9;
range = {{-W, W}, {-W, W}};

(* Чёрная дыра Пэнлеве *)
Clear[c, rg, r, t, dt, dr, \[Xi], \[Chi], \[Tau], \[Sigma]];
\[Xi][t_, r_] :=
Exp[(-c t + r + 2 Sqrt[rg r])/(2 rg)] (1 - Sqrt[r/rg]);
\[Chi][t_, r_] :=
Exp[(+c t + r - 2 Sqrt[rg r])/(2 rg)] (1 + Sqrt[r/rg]);

d\[Xi] = \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]\(\[Xi][t, r]\)\) dt + \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(r\)]\(\[Xi][t, r]\)\) dr;
d\[Chi] = \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]\(\[Chi][t, r]\)\) dt + \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(r\)]\(\[Chi][t, r]\)\) dr;

Simplify[(4 rg^3)/r E^(-(r/rg))
d\[Xi] d\[Chi] == (c^2 dt^2 - (dr + Sqrt[rg/r] c dt)^2), {r > 0,
rg > 0}]
\[Tau][t_, r_] := 1/2 (\[Xi][t, r] + \[Chi][t, r]);
\[Sigma][t_, r_] := 1/2 (\[Chi][t, r] - \[Xi][t, r]);

d\[Tau] = \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]\(\[Tau][t, r]\)\) dt + \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(r\)]\(\[Tau][t, r]\)\) dr;
d\[Sigma] = \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]\(\[Sigma][t, r]\)\) dt + \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(r\)]\(\[Sigma][t, r]\)\) dr;
Simplify[(4 rg^3)/
r E^(-(r/
rg)) (d\[Tau]^2 -
d\[Sigma]^2) == (c^2 dt^2 - (dr + Sqrt[rg/r] c dt)^2), {r > 0,
rg > 0}]

c = 1;
rg = 1;

radial[r_] :=
ParametricPlot[{\[Sigma][t, r], \[Tau][t, r]}, {t, -L, L},
PlotRange -> range, PlotStyle -> {RGBColor[0.15, 0.5, 0.15]}];
time[t_] :=
ParametricPlot[{\[Sigma][t, r], \[Tau][t, r]}, {r, -L, L},
PlotRange -> range, PlotStyle -> {RGBColor[0.3, 0.9, 0.3], Dashed}];

blackRadial = Table[radial[1 + n*dR], {n, -NR, NR}];
blackTime = Table[time[n*dT], {n, -NT, NT}];
black = Join[blackRadial, blackTime];

(* Белая дыра Пэнлеве *)
Clear[c, rg, r, t, dt, dr, \[Xi], \[Chi], \[Tau], \[Sigma]];
\[Xi][t_,
r_] := -Exp[(+c t + r + 2 Sqrt[rg r])/(2 rg)] (1 - Sqrt[r/rg]);
\[Chi][t_,
r_] := -Exp[(-c t + r - 2 Sqrt[rg r])/(2 rg)] (1 + Sqrt[r/rg]);
d\[Xi] = \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]\(\[Xi][t, r]\)\) dt + \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(r\)]\(\[Xi][t, r]\)\) dr;
d\[Chi] = \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]\(\[Chi][t, r]\)\) dt + \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(r\)]\(\[Chi][t, r]\)\) dr;

Simplify[(4 rg^3)/r E^(-(r/rg))
d\[Xi] d\[Chi] == (c^2 dt^2 - (dr - Sqrt[rg/r] c dt)^2), {r > 0,
rg > 0}]
\[Tau][t_, r_] := 1/2 (\[Xi][t, r] + \[Chi][t, r]);
\[Sigma][t_, r_] := 1/2 (\[Chi][t, r] - \[Xi][t, r]);

d\[Tau] = \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]\(\[Tau][t, r]\)\) dt + \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(r\)]\(\[Tau][t, r]\)\) dr;
d\[Sigma] = \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(t\)]\(\[Sigma][t, r]\)\) dt + \!\(
\*SubscriptBox[\(\[PartialD]\), \(r\)]\(\[Sigma][t, r]\)\) dr;
Simplify[(4 rg^3)/
r E^(-(r/
rg)) (d\[Tau]^2 -
d\[Sigma]^2) == (c^2 dt^2 - (dr - Sqrt[rg/r] c dt)^2), {r > 0,
rg > 0}]

c = 1;
rg = 1;

radial[r_] :=
ParametricPlot[{\[Sigma][t, r], \[Tau][t, r]}, {t, -L, L},
PlotRange -> range, PlotStyle -> {RGBColor[0.15, 0.15, 0.6]}];
time[t_] :=
ParametricPlot[{\[Sigma][t, r], \[Tau][t, r]}, {r, -L, L},
PlotRange -> range, PlotStyle -> {RGBColor[0.3, 0.3, 0.9], Dashed}];
whiteRadial = Table[radial[1 + n*dR], {n, -NR, NR}];
whiteTime = Table[time[n*dT], {n, -NT, NT}];
white = Join[whiteRadial, whiteTime];
redLine =
ParametricPlot[{s, -s}, {s, -W, W}, PlotRange -> range,
PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 0], Dashed, Thick},
AxesLabel -> {"\[Sigma]", "\[Tau]"}];
Show[redLine, black]
Show[redLine, white]
Show[redLine, white, black]

[SergeyGubanov]

Формулы с картинками из предыдущего сообщения оформил и выложил в формате PDF: "Полное пространство белой и чёрной дыры Пэнлеве".