Интегралы Фурье и группа Лоренца

[EvilPhysicist]

Не могу понять как правильно выполнять преобразования Фурье с учетом релятивизма.

Пусть у нас есть обычное пространство Минковского. В нем скалярное поле $\phi(t, \vec x)$.
Можно выключить мозг и написать

$$ \phi(t,\vec x) = \int \cfrac{d \vec k}{(2\pi)^3} ~ \int \cfrac{dt}{2 \pi} ~ \phi(\omega, \vec k) e^{-i (\omega t - \vec k \vec x)} $$

Теперь включаем мозг обратно. $(t, \vec x) = x^\mu$ -- это координаты на многообразии. Слева стоит элемент пространства дифференцируемых нужное число раз функций на пространстве Минковского. Справа мы его раскладываем по ОНБ этого пространства, значит

$$\phi(\omega, \vec k) = (\phi(t,\vec x), e^{i kx}) $$

где $(\cdot, \cdot)$ -- скалярное произведение на пространстве функций, $kx= \omega t - \vec k \vec x$.
Тут, вроде бы, все хорошо: считаем ИО группы Лоренца, строим ее представление в пространстве функций и видим что $\phi(\omega, \vec k)$ преобразуется по единичному представлению.

Теперь вопрос. А что происходит когда мы собираемся учесть уравнения движения?
То есть понятно, что пишем уравнение Клейна-Гордона, смотрим что оно над дает для Фурье-образов и переписываем все в виде

$$ \phi(t,\vec x) = \int \cfrac{d \vec k}{(2\pi)^3} ~ \int \cfrac{dt}{2 \pi} \phi(\omega, \vec k) e^{-i (\omega t - \vec k \vec x)} \delta(\omega^2 - k^2 - m^2) $$

И разделяем на разночастотные решения:

$$ \phi(t,\vec x)^\pm = \int \cfrac{d \vec k}{(2\pi)^3} ~ \int \cfrac{dt}{2 \pi} \phi(\omega, \vec k) e^{-i (\omega t - \vec k \vec x)} \delta(\omega^2 - k^2 - m^2) \theta(\pm \omega) = $$

$$= \int \cfrac{d \vec k}{(2\pi)^4} ~ \left( \pm \phi(\pm \sqrt{m^2 + k^2},\pm\vec k) e^{\mp i (\sqrt{m^2 + k^2} t-\vec k \vec x)} \right) $$

Из-за той же группы Лоренца решение не может изменить знак частоты. Значит на $\phi^+$ и на $\phi^-$ по отдельности должны реализовываться представление группы Лоренца.

Но вот тут возникает непонимание: $\phi(\sqrt{m^2 + k^2}, \vec k)$ все еще преобразуется по единичному представлению и вклада не дает; $d \vec k$ преобразуется домножаясь на какую-то матрицу; экспонента преобразуется "закидывая" себе в показатель какие-то матрицы; и одновременно с этим в разных книжках люди переписываю $\phi(\pm\sqrt{m^2 + k^2},\pm\vec k)$,то в виде $\phi(\sqrt{m^2 + k^2},\vec k)= \cfrac{\phi^\pm(\vec k)}{\sqrt{2 \sqrt{m^2 + k^2}}}$(Боголюбов-Ширков), то $\phi(\sqrt{m^2 + k^2},\vec k)= \cfrac{\phi^\pm(\vec k)}{2 \sqrt{m^2 + k^2}}$.

Так вот вопрос: кто прав и почему?

[warlock66613]

EvilPhysicist в сообщении #822466 писал(а):

$d \vec k$ преобразуется домножаясь на какую-то матрицу

На число. Это же не вектор. Именно, на $\omega' / \omega$.

EvilPhysicist в сообщении #822466 писал(а):

экспонента преобразуется "закидывая" себе в показатель какие-то матрицы

Откуда? Тоже по единичному же, как и $\phi$.

deleted part

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #822466 писал(а):

$(t, \vec x) = x^\mu$ -- это координаты на многообразии.

Стоп-стоп-стоп. Выключаем слово "многообразие", включаем "плоскость (Минковского)". А то придётся обобщать Фурье на произвольные многообразия, а это непросто, знаете ли :-)

EvilPhysicist в сообщении #822466 писал(а):

считаем ИО группы Лоренца

Простите, я не знаю, что такое ИО...

EvilPhysicist в сообщении #822466 писал(а):

И разделяем на разночастотные решения:

$$ \phi(t,\vec x)^\pm = \int \cfrac{d \vec k}{(2\pi)^3} ~ \int \cfrac{dt}{2 \pi} \phi(\omega, \vec k) e^{-i (\omega t - \vec k \vec x)} \delta(\omega^2 - k^2 - m^2) \theta(\pm \omega) = $$

$$= \int \cfrac{d \vec k}{(2\pi)^4} ~ \left( \pm \phi(\pm \sqrt{m^2 + k^2},\pm\vec k) e^{\mp i (\sqrt{m^2 + k^2} t-\vec k \vec x)} \right) $$

Здесь ошибка. Одно дело формально подставить дельту в аргументы других функций,

$$(\text{под интегралом})\quad\begin{gathered}\phi(\omega,\vec{k})\,e^{-i(\omega t-\vec{k}\vec{x})}\,\delta(\omega^2-k^2-m^2)\,\theta(\pm\omega)=\\=\phi(\pm\sqrt{m^2+k^2},\pm\vec{k})\,e^{\mp i(\sqrt{m^2+k^2}t-\vec{k}\vec{x})}\,\delta(\omega^2-k^2-m^2)\,\theta(\pm\omega),\end{gathered}$$

и совсем другое - проинтегрировать по одной из четырёх переменных. Именно от интегрирования (многоточие - скалярная функция) и возникает множитель:

$$\int dt\quad\ldots\quad\delta(\omega^2-k^2-m^2)=\dfrac{\quad\ldots\quad|_{\omega=\omega_0=\pm\sqrt{k^2+m^2}}}{\left.\tfrac{d}{d\omega}(\omega^2-k^2-m^2)\right|_{\omega=\omega_0}}.$$

Сами видите, знаменатель есть в данном случае как раз тот самый $2\omega=\pm 2\sqrt{k^2+m^2},$ который вызывал у вас вопросы.

Теперь, откуда различия? Всё дело в том, что само по себе уравнение Клейна-Гордона можно записать по-разному, и возникнут разные дельта-функции:

$$\begin{gathered}\delta(\omega^2-k^2-m^2),\\\delta(\sqrt{\omega^2-k^2-m^2}),\\\delta(\omega-\sqrt{k^2+m^2}),\\\end{gathered}$$

или что-то ещё подобное. Все они равнозначны или почти равнозначны: все они выделяют в пространстве $(\omega,\vec{k})$ массовую поверхность (mass shell), на которой аргумент приравнивается к нулю; и задают на ней лоренц-инвариантную (первые два варианта) или не лоренц-инвариантную (третий вариант) меру. Именно в этом подвох: если что-то приравнивается к нулю, то можно приравнять к нулю и почти любое другое выражение. Если мы выбираем лоренц-инвариантное выражение, то множитель будет везде одинаковый, но если не лоренц-инвариантное, то он будет меняться в зависимости от $\omega=\pm\sqrt{k^2+m^2}.$

И наконец, почему в Боголюбове-Ширкове другой знаменатель? Дельту они берут лоренц-инвариантную. Но потом перенормируют функции, переходя от лоренц-инвариантной $\phi^\pm(k^\mu)$ к трёхмерной $\phi^\pm(\vec{k}).$ Этот шаг отдельно выписан в обоих Боголюбовых-Ширковых, хотя на него легко не обратить внимание. В "толстом" это формула (3.22), в "тонком" - формула, следующая за (3.8).

-- 04.02.2014 04:55:12 --

И наконец, этот знаменатель вообще никак не связан с преобразованиями Лоренца!!!

И p. s. Удобно писать явно $d^3\vec{k},$ $d^4k^\mu,$ чтобы видно было, и как они преобразуются под преобразованиями Лоренца (объём - совсем иначе, чем базис векторов), и чтобы видеть, сколькикратное сейчас интегрирование и по какому пространству.

-- 04.02.2014 05:03:05 --

P. P. S. В Боголюбове-Ширкове не очень удобные обозначения, которые легко перепутать: 4-векторы обозначены без индексов буквой светлого шрифта ($k$), а их 3-части - буквой полужирного наклонного шрифта ($\boldsymbol{k}$). Чтобы отличить одно от другого, приходится глаза ломать, а отличия бывают, как вы видите, весьма суровыми.

Приучите себя к более легкочитаемым обозначениям. Например, $k^\mu$ (индексы всегда) и $\mathbf{k}$ (на письме $\overline{\mathrm{k}}$). Или даже, $k$ (удобно не писать индексы в больших 4-мерных выкладках) и $\kappa$! Примеры первого: Рубаков, Пескин-Шрёдер. Пример второго: Фейнман. Книги это читать не поможет, зато поможет в собственных выкладках.

[EvilPhysicist]

warlock66613 в сообщении #822529 писал(а):

На число. Это же не вектор. Именно, на $\omega' / \omega$.

Почему?

warlock66613 в сообщении #822529 писал(а):

Откуда? Тоже по единичному же, как и $\phi$.

Так там же $\vec k$ в показателе есть. Он точно изменится не по единичному представлению.

Munin в сообщении #822536 писал(а):

Простите, я не знаю, что такое ИО...

Инфинитезимальные Операторы

Munin в сообщении #822536 писал(а):

Именно от интегрирования (многоточие - скалярная функция) и возникает множитель:

То есть $\int f(x) \delta(g(x)) dx = f(g^{-1}(0)) \left. \left( g^{-1}(y) \right)' \right|_{y=0} $?

[warlock66613]

EvilPhysicist в сообщении #822554 писал(а):

Почему?

Во-первых, $d \vec k$ - это элемент объёма, $dk_x dk_y dk_z$.
А, во-вторых, он дуален к $d\omega$, поэтому преобразуется так же.

EvilPhysicist в сообщении #822554 писал(а):

Так там же $\vec k$ в показателе есть. Он точно изменится не по единичному представлению.

Там в показателе было и осталось скалярное 4-произведение. Скалярное.

EvilPhysicist в сообщении #822554 писал(а):

То есть $\int f(x) \delta(g(x)) dx = f(g^{-1}(0)) \left. \left( g^{-1}(y) \right)' \right|_{y=0} $?

В общем случае
$\delta[g(x)] = \sum_i \left| g'(a_i) \right|^{-1} \delta(x - a_i),$ где $g(x)$ - однозначная функция, а $a_i$ - корни уравнения $g(x) = 0$.

[Sicker]

EvilPhysicist, а если мы возьмем КТП и устремим скорость света к бесконечности то мы получим квантовую механику? а если постоянную Планка устремим к нулю то релятивистскую механику? а если одновременно скорость света устремим к бесконечности а постоянную планка к нулю то получим классическую механику?

[Munin]

warlock66613 в сообщении #822563 писал(а):

Во-первых, $d \vec k$ - это элемент объёма, $dk_x dk_y dk_z$.

Вот это неудобные какие-то обозначения, вы не находите? Было бы гораздо логичней обозначить элемент объёма $d^3\vec{k}.$ Ну или $dV_{\vec{k}}.$ А это $d\vec{k}$ гораздо больше на $(dk_x,dk_y,dk_z)$ смахивает.

Sicker в сообщении #822580 писал(а):

EvilPhysicist, а если мы возьмем КТП и устремим скорость света к бесконечности то мы получим квантовую механику? а если постоянную Планка устремим к нулю то релятивистскую механику? а если одновременно скорость света устремим к бесконечности а постоянную планка к нулю то получим классическую механику?

В каждом из перечисленных случаев - да, но кроме указанного предела надо наложить ещё некоторые условия. В пределе $c\to\infty$ - низкие энергии, то есть в пределе постоянное число частиц (и все частицы массивные, а по безмассовым степеням свободы придётся интегрировать). В пределе $\hbar\to 0$ - так называемый квазиклассический предел квантовой механики, то есть все амплитуды концентрируются в компактный волновой пакет вокруг одной точки, и нет суперпозиции сильно отличающихся состояний. В соотношении неопределённостей $\Delta f\,\Delta g\gtrsim\hbar$ должны $\Delta f\xrightarrow{\hbar\to 0}0,$ $\Delta g\xrightarrow{\hbar\to 0}0$ одновременно, а не по отдельности.

[EvilPhysicist]

warlock66613 в сообщении #822563 писал(а):

А, во-вторых, он дуален к $d\omega$, поэтому преобразуется так же.

Всмысле дуален?

warlock66613 в сообщении #822563 писал(а):

Там в показателе было и осталось скалярное 4-произведение. Скалярное.

Не совсем, там стоит $\omega t - k_x x - k_y y - k_z z$, где $t$, $x$, $y$, $z$ -- координаты на конкретном многообразии -- плоскости Минковского. А скалярное произведение, на сколько я чего помню, определяется на линейных пространствах. Ну и $\omega$ и $k_x$, $k_y$, $k_z$ вообще преобразовываться не должны, потому что они просто параметры преобразования.

Sicker в сообщении #822580 писал(а):

а если мы возьмем КТП и устремим скорость света к бесконечности то мы получим квантовую механику? а если постоянную Планка устремим к нулю то релятивистскую механику? а если одновременно скорость света устремим к бесконечности а постоянную планка к нулю то получим классическую механику?

Врят ли получите что-либо. Главным образом потому что теория устроена чуть сложнее, чем вам бы хотелось и одним устремлением констант дело не решить. Ну вам Munin уже подробнее ответил пока я писал ответ.

[Sicker]

ясно, а вот КТП-это же теория поля, те квантовая электродинамика, а не механика? получаем при устремлении скорости света к бесконечности приближение электродинамики на малых скоростях
или что то не то?

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #822600 писал(а):

Всмысле дуален?

В смысле, вместе взятые $d^3\vec{k}$ и $d\omega$ образуют 4-объёмчик, а в нём площадка $d^3\vec{k}$ перпендикулярна вектору $d\omega.$

На языке ЛЛ-2 § 6, $(d\omega)^\mu=-\tfrac{1}{6}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}(d^3\vec{k})_{\nu\rho\sigma}.$

EvilPhysicist в сообщении #822600 писал(а):

Не совсем, там стоит $\omega t - k_x x - k_y y - k_z z$, где $t$, $x$, $y$, $z$ -- координаты на конкретном многообразии -- плоскости Минковского. А скалярное произведение, на сколько я чего помню, определяется на линейных пространствах.

В данном случае пространство Минковского - линейное пространство. А слова про многообразия вам придётся на некоторое время забыть. Иначе вы скачете впереди паровоза, и это вам мешать будет.

Вся стандартная КТП пишется на плоском Минковском, и все формулы - используют его как линейное пространство со скалярным произведением. Только в такой ситуации валидны все выкладки, использующие Фурье. Расширение КТП на произвольные многообразия непростая задача, и в курсы КТП не входит, а входит в отдельные книги по квантовым полям в условиях гравитации.

-- 04.02.2014 14:40:32 --

Sicker в сообщении #822601 писал(а):

ясно, а вот КТП-это же теория поля, те квантовая электродинамика, а не механика?

КЭД - это одна из разновидностей КТП. В учебниках - одна часть полного курса КТП.
Вы правы, в том смысле, что КТП обладает бо́льшими возможностями, чем КМ. В КТП могут рождаться и исчезать частицы. В КЭД, например, излучаются и поглощаются фотоны, и рождаются и аннигилируют электрон-позитронные пары.

Sicker в сообщении #822601 писал(а):

получаем при устремлении скорости света к бесконечности приближение электродинамики на малых скоростях
или что то не то?

К сожалению, электродинамика не совместима с $c\to\infty.$ Вы вообще электродинамику себе хорошо представляете? Не квантовую, а классическую, то есть уравнения Максвелла и взаимодействие с зарядами.

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #822604 писал(а):

В смысле, вместе взятые $d^3\vec{k}$ и $d\omega$ образуют 4-объёмчик, а в нём площадка $d^3\vec{k}$ перпендикулярна вектору $d\omega.$

Понял. Это разве не дуальность Ходжа?

Munin в сообщении #822604 писал(а):

В данном случае пространство Минковского - линейное пространство.

Тогда ок.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #822604 писал(а):

К сожалению, электродинамика не совместима с $c\to\infty.$

В смысле, с опытом напрочь не будет согласоваться? Или там внутренние какие-то противоречия вылезут? Навскидку у нас исчезает электромагнитная индукция, изменение электрической индукции перестает влиять на магнитное поле, и что-то плохое должно произойти электрической и/или магнитной постоянными.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #822619 писал(а):

Понял. Это разве не дуальность Ходжа?

Да-да-да, она самая.

У вас очень несбалансированная эрудиция :-) Знаете про многообразия и Ходжа, и это сбивает вас при чтении более примитивных вещей.

-- 04.02.2014 15:30:20 --

Joker_vD в сообщении #822621 писал(а):

В смысле, с опытом напрочь не будет согласоваться? Или там внутренние какие-то противоречия вылезут? Навскидку у нас исчезает электромагнитная индукция, изменение электрической индукции перестает влиять на магнитное поле, и что-то плохое должно произойти электрической и/или магнитной постоянными.

Ну, электродинамика в пределе $c\to 0$ просто перестаёт быть электродинамикой, вы верно заметили. Она распадается на несвязанные отдельные явления: электростатику, магнитостатику, гальванизм (то есть, цепи постоянного тока, могущие создавать постоянное же магнитное поле).

[EvilPhysicist]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #822622 писал(а):

У вас очень несбалансированная эрудиция Знаете про многообразия и Ходжа, и это сбивает вас при чтении более примитивных вещей.

You have no idea.
Все, что я знаю про Ходжа, что у него есть звезда и дуальность. Причем про дуальность я знаю что она как-то, уже не помню как, связывает внешние формы $k$ и $n-k$-того ранга и где лежит книжка, в которой про это написано.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #822630 писал(а):

You have no idea.
Все, что я знаю про Ходжа, что у него есть звезда и дуальность. Причем про дуальность я знаю что она как-то, уже не помню как, связывает внешние формы $k$ и $n-k$-того ранга и где лежит книжка, в которой про это написано.

Да ну ерунда какая. Звезда и дуальность Ходжа - это просто свёртка с $\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ по всем имеющимся индексам, так что остаются только незанятые индексы от этого $\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}.$ Вполне достаточно ЛЛ-2 § 6, всё это - то же самое на другом языке, не более того.