Бесконечность

Aritaborian · 11/06/12 10390 стихия.вздох.мюсли

Что за набор слов?

ratay в сообщении #821062 писал(а):

Когда я говорю о бесконечности фрактального пространства, я имею в виду бесконечность его линейных размеров, как и у плоскости, трехмерного пространства и т.д.

Не пространства, а объекта, являющегося подмножеством некоторого пространства. Канторово множество $C\subset[0;1]\subset\mathbb{R}$ . Снежинка Коха $K\subset\mathbb{R}^2$ . Снежинка Коха и множество Мандельброта, к примеру, имеют бесконечный периметр, но конечную площадь. Новомодный Mandelbulb имеет бесконечную поверхность, но конечный объём.
Под линейными размерами я привык понимать длину, ширину и глубину, но никак не площадь и объём. И говорить о «бесконечности линейных размеров» $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}^3$ бессмысленно.

ratay в сообщении #821062 писал(а):

Хотя, конечно, структура фрактала отличается от структуры привычных нам геометрических непрерывных пространств.

Хотелось бы понять, какой смысл вы вкладываете в эти слова.

ratay в сообщении #821062 писал(а):

Появляется внутренняя, точечная связность, кривизна,
может, что-то еще - пока неясно.

И в эти тоже.
Фракталы открыты отнюдь не вчера, и многое из того, что когда-то было неясно, уже выяснено. Хотя, к примеру, вопрос о площади множества Мандельброта остаётся открытым. Даже численно вычислить её не так-то просто, а теоретических подходов почти что нет.

ratay в сообщении #821062 писал(а):

Но интересно, что если мы для построения трехмерного бесконечного фрактала возьмем четырехмерный кубик, разобьем его на 256 ячеек (каждое ребро разобъем на 4 части) и оставим из них 64, то зависимость объема такого фрактала от его линейных размеров будет привычной нам кубической. В таком бесконечном фрактале мы тоже сможем выделять привычные нам кубы, шары и прочие геометрические объекты.

Эту часть я вообще не понял. Можете привести картинку? Хотя и так понимаю, что никаких шаров и «прочих геометрических объектов» там заведомо не будет.

И, ratay, каким способом вы вообще тексты набираете-то? Вы совсем не видите, что это некрасиво?

Duku · 29/01/14 8

Dan B-Yallay в сообщении #820387 писал(а):

Утверждениями вообще-то принято называть конечные выражения. Что у вас там по диагонали получается....

Тоже, что и в каждой строке.

В каждой строке выписаны все утверждения арифметики. Алгоритм должен отличать синтаксически корректные утверждения от белиберды (иначе утверждение Someone неверно). Их порядок различен, т.к. различны алгоритмы их выписывающие.

$x_1=a_{11}, a_{12}, a_{13}…$
$x_2=a_{21}, a_{22}, a_{23}…$
$x_3=a_{31}, a_{32}, a_{33}…$
…
$x_n$ - номер алгоритма, выписывающего все утверждения арифметики;
$a_{nm}$ - номер (правильного) высказывания арифметики, которое выписал алгоритм с номером $n$ на шаге $m$ ;

Рассмотрим следующую последовательность утверждений арифметики:
$x=d_1,d_2,d_3…d_k$ , где $d_k \neq a_{kk}$
Этой последовательности нет в таблице, следовательно, существует алгоритм, который выписывает все утверждения арифметики иначе, чем все алгоритмы из таблицы.
Очевидно, что диагональная процедура, парой строк выше, и есть этот алгоритм.

Можно, конечно, сослаться на то, что под разными числами могут быть закодированы одни и те же высказывания арифметики. Тогда представим, что мы пользуемся системой счисления, основание которой равномощно алфавиту языка арифметики, тогда ничего повторяться не будет. Более того, т.к. тексты самих алгоритмов тоже являются утверждениями арифметики, то они тоже войдут в таблицу, как части некоторых строк.
Так сколько всего таких алгоритмов ?
С одной стороны, т.к. каждый алгоритм конечен, их счетное множество.
С другой стороны, диагональная процедура доказывает, что это не так.

Dan B-Yallay · 11/12/05 10059

Duku в сообщении #821119 писал(а):

каждый алгоритм конечен, их счетное множество.

Duku в сообщении #821119 писал(а):

диагональная процедура, парой строк выше, и есть этот алгоритм.

Почему Вы думаете, что алгоритм $x$ - описывающий диагональную процедуру - конечен? Он должен содержать информацию обо всех алгоритмах $x_1, x_2, x_3 \ldots$ чтобы на $k$ -том шаге уметь выписывать утверждение, отличающееся от $a_{kk}$ .
Я неправ?

Someone · 23/07/05 17976 Москва

Duku в сообщении #821119 писал(а):

Рассмотрим следующую последовательность утверждений арифметики:
$x=d_1,d_2,d_3…d_k$ , где $d_k \neq a_{kk}$
Этой последовательности нет в таблице, следовательно, существует алгоритм, который выписывает все утверждения арифметики иначе, чем все алгоритмы из таблицы.

Ерунду Вы пишете. Во-первых, ни откуда не следует, что эта последовательность содержит все высказывания. Во-вторых, даже если это и так, ниоткуда не следует, что найдётся алгоритм, перечисляющий высказывания именно в таком порядке. Тем более, что существует континуум последовательностей, перечисляющих все высказывания, и только счётное множество алгоритмов.

Duku в сообщении #821119 писал(а):

Алгоритм должен отличать синтаксически корректные утверждения от белиберды (иначе утверждение Someone неверно).

Высказывания определяются чисто синтаксически, без обращения к "смыслу" или "истинности". В общем, высказывание в формальной теории — это просто слово (конечная последовательность символов заданного алфавита; алфавит будем считать конечным, раз уж мы заговорили об алгоритмах), имеющее определённую синтаксическую структуру. Эта структура достаточно простая и легко распознаётся алгоритмом. Например, $a=b$ — высказывание, а $a=+=b$ —нет (я подразумеваю обычно используемый синтаксис арифметических высказываний). Поэтому для перечисления всех высказываний нужно просто перечислять всевозможные слова (например, в лексикографическом порядке) и проверять, являются ли они высказываниями. Естественно, перечисляющих алгоритмов много, и они могут перечислять высказывания в разном порядке.

Кстати, доказательство в формальной теории тоже определяется чисто синтаксически, поэтому можно построить алгоритм, перечисляющий доказуемые высказывания (здесь предполагаются, что аксиомы можно перечислить некоторым алгоритмом; для арифметики это выполнено). К сожалению, пользы от этого мало: такой алгоритм не поможет нам проверить, доказуемо ли произвольно взятое высказывание. То есть, если высказывание доказуемо, то рано или поздно алгоритм до него доберётся, но неизвестно, когда это произойдёт. Допустим, мы ждём уже миллиард лет, а нужного нам высказывания алгоритм ещё не вывел. Что мы должны думать по этому поводу?

Duku в сообщении #821119 писал(а):

Более того, т.к. тексты самих алгоритмов тоже являются утверждениями арифметики, то они тоже войдут в таблицу, как части некоторых строк.

Нет, алгоритмы не являются утверждениями, и нам будет неудобно, если мы не сможем отличать запись алгоритма от высказывания. Поэтому кодирование алгоритмов должно быть таким, чтобы мы могли распознавать коды алгоритмов и отличать их от других слов на синтаксическом уровне.

Duku в сообщении #821119 писал(а):

С одной стороны, т.к. каждый алгоритм конечен, их счетное множество.
С другой стороны, диагональная процедура доказывает, что это не так.

Диагональная процедура ничего такого не показывает.

Dan B-Yallay в сообщении #821138 писал(а):

Почему Вы думаете, что алгоритм $x$ - описывающий диагональную процедуру - конечен? Он должен содержать информацию обо всех алгоритмах $x_1, x_2, x_3 \ldots$ чтобы на $k$ -том шаге уметь выписывать утверждение, отличающееся от $a_{kk}$ .

Ну, если уж речь пошла о записях алгоритмов, то такая запись должна быть конечной.
Существует "универсальный алгоритм", который, получив на входе запись какого-нибудь алгоритма и входные данные для него, воспроизводит действия этого алгоритма.
Можно представить себе алгоритм, перечисляющий бесконечную последовательность "алгоритмов для перечисления всех высказываний" (и даже последовательность всех алгоритмов вообще).

Но приведённое выше Duku рассуждение существенно неполно, поскольку диагональная процедура не может гарантировать, что в полученной последовательности будут все высказывания.

Если же не гнаться за перечислением непременно всех высказываний, то подобным рассуждением можно показать, что не существует алгоритма, перечисляющего все алгоритмы "для перечисления бесконечных последовательностей высказываний".

Duku · 29/01/14 8