Вопрос, связанный с переходом к новому базису

[svv]

BENEDIKT
Чтобы изучать этот предмет было легче и приятнее, можно применять сокращенные обозначения для записи формул. Для примера я перепишу часть Вашего сообщения в одном из сокращенных вариантов. Вот что получится.

Цитата:

В новом базисе вектор $x$ равен:
$x=\hat x^i \hat e_i$
Тогда, учитывая, что $\hat e_i=a_i^k e_k$, имеем:
$x=\hat x^i a_i^k e_k$
В старом базисе вектор $x$ равен:
$x=x^k e_k$

Как объяснили уважаемые участники форума, это выражение легко преобразуется так, что если подставить в равенство $\hat x^i \hat e_i=x^k e_k$ значения $\hat e_i$, то получим:
$\hat x^i a_i^k e_k=x^k e_k$
Затем значения векторов нового базиса выносятся за скобки:
$(\hat x^i a_i^k)e_k=x^k e_k$
Но как доказать при этом, что
$x^k=\hat x^i a_i^k$

А мы бы тогда Вам ответили:

Из $(\hat x^i a_i^k)e_k=x^k e_k$ следует
$(\hat x^i a_i^k-x^k)e_k=0$
Так как векторы $e_k$ линейно независимы, нуль возможен, лишь если линейная комбинация тривиальна, т.е. $x^k=\hat x^i a_i^k$.

Munin
А через кобазис у меня тоже есть, в оффтопе.
Я отвечал прямо на заданный вопрос: компонента (вектор, базисные векторы).

[Munin]

(Оффтоп)

svv в сообщении #820399 писал(а):

А через кобазис у меня тоже есть, в оффтопе.

Там ещё нотация непривычная. То есть, вашу формулу можно понять после прочтения соответствующего учебника. А то, что я написал - до. Я надеюсь.

svv в сообщении #820399 писал(а):

Я отвечал прямо на заданный вопрос: компонента (вектор, базисные векторы).

В общем, покажу на практике.

provincialka в сообщении #820087 писал(а):

Рассмотрим такой "базис":


первый набор ($2$ конфеты + $3$ шоколадки + $1$ яблоко)
второй набор ($1$ конфета + $2$ шоколадки + $4$ яблока)
третий набор ($10$ конфет)

Чтобы найти координаты в этом базисе, мы должны решить систему уравнений
$\begin{cases} 2x^1+1x^2+10x^3=k\\ 3x^1+2x^2+0x^3=c\\ 1x^1+4x^2+0x^3=a\\ \end{cases}$
Как решать систему уравнений, надеюсь, объяснять не надо, результаты:
$x^1=2c/5-a/5$
$x^2=-c/10+3a/10$
$x^3=k/10-7c/100+a/100$
Вот эти вот функции, написанные в правой части, и будут функциями $N^1,N^2,N^3.$ Вычислив их заранее, мы просто всегда подставляем в них известный вектор (в данном случае - набор чисел $k,c,a$), и сразу получаем значения координат $x^1,x^2,x^3.$

[BENEDIKT]

Munin, svv

Большое спасибо за разъяснения.