пара простых p,q с условием: p | (1+q^2) и q | (1+p^2)

[maxal]

maxal в сообщении #135542 писал(а):

Пусть простые $p<q$ таковы, что $p|(1+q^2)$ и $q|(1+p^2)$.

Докажите или опровергните, что оба они являются числами Фибоначчи: $p=F_r$ и $q=F_{r+2}$ для некоторого $r$ (причем $r$ и $r+2$ - это простые близнецы).

Решение этой задачи также приводится в §12 книги:
В. Н. Серпинский "О решении уравнений в целых числах".

[maxal]

maxal в сообщении #135812 писал(а):

найдите такие пары простых чисел $p,q$, что $p|(1+q^3)$ и $q|(1+p^3).$

Без требования для $p,q$ быть простыми, эта задача рассматривается в статье:
S. P. Mohanty, A system of cubic diophantine equations, Journal of Number Theory 9(2), 1977, 153–159.