Двойной маятник

[Oleg Zubelevich]

Двойной маятник состоит из идеальных шарниров $A,C$ и невесомых жестких стержней $AC, CD,\quad CD=b,\quad AC=l$. На стержне $AC$ закреплена материальная точка $B$ массы $m,\quad AB=a$, на стержне $CD$ закреплена материальная точка $D$ массы $M$. Двойной маятник качается в плоскости рисунка под действием силы тяжести.
При каких значениях параметров задачи маятник может совершать качания при которых угол между стержнями $AC, CD$ не зависит от времени? (H. Bouasse)

[st rik]

угол между стержнями $AC, CD$ не зависит от времени
и $=0$, $m=0$ ?

[Oleg Zubelevich]

$m,M,a,b\ne 0$

[st rik]

Oleg Zubelevich
если угол не зависит от фазы (времени), то это 0.
предельный переход (180 градусов, вертикаль маятника) его не меняет? тогда по-любому 0.
либо ограничение дОлжно указать.
с $m=0$ неправ, частный случай

[st rik]

Oleg Zubelevich
ну ладно). спроецируйте силы на оси, уравняйте движение точек. просто "не зависит от времени" как-то нестрого.
может, перевод.

[Oleg Zubelevich]

Это несложная задача, она решается с помощью стандартной техники. Но эта техника не уровня средней школы.
Я ее выложил только потому, что интересен сам эффект. В первый раз его обнаружили, когда отлили колокол и язык к нему, который не захотел звонить.

[Oleg Zubelevich]

Ответ: $a=l+b$.

[EtCetera]

Неужели $AB>AC$? А ведь по рисунку-то и не скажешь.

[Oleg Zubelevich]

там еще и такой ответ есть $l-b=a$

вот сообразите , что эти ответы означают физически

[EtCetera]

Еще на примере с колоколом надо было сообразить. Всегда у меня было плохо с геометрией.

[Oleg Zubelevich]

1 случай: угол между векторами $\overline{AB},\overline{CD}$ равен $\pi$ и $a=l-b$

2 случай: угол между векторами $\overline{AB},\overline{CD}$ равен $0$ и $a=l+b$
при этом картинка уже будет другая. Стержень $CD$ крепится к стержню $AB$ так, что шарнир $C$ оказывается между точками $A$ и $B$

[Munin]

Oleg Zubelevich
Лучше расскажите вот про что. При указанных значениях параметров маятник может совершать колебания, при которых угол $\mathrm{const}$ - а какие ещё колебания он при этих параметрах может совершать? В частности, как выглядит решение при вынуждающей силе? Если уж интересен колокол, который не захотел звонить.

[Oleg Zubelevich]

1) Году в 1994 Сергей Владимирович Болотин доказал неинтегрируемость задачи о двойном маятнике при очень общих предположениях относительно параметров задачи.
С помощью вариационных методов он нашел большое количество (ключевое множество для класса аналитических функций) невырожденных периодических решений. Из этого, в частности, следует, что не существует аналитического первого интеграла независимого от интеграла энергии почти всюду. Это глубокие тонкие результаты, подробности надо гуглить в статьях Болотина или в его докторской. Я только пересказываю то, что запомнил с его докладов.

2) Вроде бы очевидное наблюдение: Поскольку конфигурационным пространством данной системы является тор, в каждом гомотопическом классе замкнутых кривых на торе имеется периодическое движение двойного маятника. Эти движения наверняка легко получить как геодезические соответствующей метрики (минимизируя фцнкционал $\int\sqrt{T(h-V)}ds$)

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #816981 писал(а):

Году в 1994 Сергей Владимирович Болотин доказал неинтегрируемость задачи о двойном маятнике при очень общих предположениях относительно параметров задачи.
С помощью вариационных методов он нашел большое количество (ключевое множество для класса аналитических функций) невырожденных периодических решений. Из этого, в частности, следует, что не существует аналитического первого интеграла независимого от интеграла энергии почти всюду. Это глубокие тонкие результаты, подробности надо гуглить в статьях Болотина или в его докторской. Я только пересказываю то, что запомнил с его докладов.

Спасибо. Это всё касается свободных или вынужденных в том числе колебаний?

Oleg Zubelevich в сообщении #816981 писал(а):

Вроде бы очевидное наблюдение: Поскольку конфигурационным пространством данной системы является тор, в каждом гомотопическом классе замкнутых кривых на торе имеется периодическое движение двойного маятника. Эти движения наверняка легко получить как геодезические соответствующей метрики (минимизируя фцнкционал $\int\sqrt{T(h-V)}ds$)

Вроде бы очевидное наблюдение: для колокола только один такой класс возможен :-)

Значит, все другие колебания языка будут непериодическими?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #817047 писал(а):

Значит, все другие колебания языка будут непериодическими?

нет, например, в окрестности устойчивого положения равновесия работает КАМ теория. В окрестности колмогоровских торов живут периодические решения.

-- Пн янв 20, 2014 19:14:21 --

Munin в сообщении #817047 писал(а):

Вроде бы очевидное наблюдение: для колокола только один такой класс возможен

не понял, это в смысле, что колокол не может через голову крутиться?

-- Пн янв 20, 2014 19:16:55 --

Munin в сообщении #817047 писал(а):

ся свободных или вынужденных в том числе колебаний?

это все про свободные колебания