Функциональное уравнение

[Otta]

ARMORIOS в сообщении #816569 писал(а):

Это будет частное решение, и оно не будет выполнятся для любого $y$.

Это не будет частное решение, это будет необходимое условие на общее.

[ARMORIOS]

provincialka в сообщении #816572 писал(а):

Ну, решением системы будет пересечение множеств решений каждого уравнения.

То есть отличного от нуля решения не существует?

[arseniiv]

Непрерывного да. Не непрерывного — не уверен.

Исходя из

ARMORIOS в сообщении #816569 писал(а):

По сути это уравнение получилось из двух уравнений:

$f(xy) = xf(y) + yf(x) (1) $
$f(x+y) = f(y) + f(x) (2) $

Каждое из этих уравнений имеет свое решение $ (1) f(x)= Cxlog(x), (2) f(x) = Cx$

И мне было интересно найти функцию у которой бы соблюдались оба этих свойства.

чего можно было ожидать, кроме нуля?

[ARMORIOS]

arseniiv в сообщении #816603 писал(а):

Непрерывного да. Не непрерывного — не уверен.

Для не непрерывного решением будет $f(x) = dx/dt$ если $x = x(t)$.

[Otta]

Это если операторное уравнение, а не функциональное. Я, может, заметили, стерла у себя то же.
То есть это Ваше $f$ будет не из $R\to R$, а из $C^1(U)\to C(U)$, где $U$ - область изменения $t$.

[ARMORIOS]

Otta в сообщении #816613 писал(а):

Это если операторное уравнение, а не функциональное. Я, может, заметили, стерла у себя то же.
То есть это Ваше $f$ будет не из $R\to R$, а из $C^1(U)\to C(U)$, где $U$ - область изменения $t$.

Спасибо что поправили. Просто все интересно представить дифференцирование в виде некоторого непрерывного функционала, как это в свое время сделал Даниэль для интеграла. И я в силу своей неопытности решил, что решение подобного функционального уравнения поможет решить задачу.

[Otta]

ARMORIOS в сообщении #816620 писал(а):

И я в силу своей неопытности решил, что решение подобного функционального уравнения поможет решить задачу.

Так какую задачу?
Вы хотели найти линейный оператор $C^1(U)\to C(U)$, обладающий свойством $A(xy)=xA(y)+yA(x)$?
Да, это будет оператор дифференцирования.
Но это другая задача. :)

Для Вашей ответ - тождественно нулевая функция.