Проверьте тройное произведение

[Sinoid]

Здравствуйте! В задачнике попалась такая задача: Вычислить тройное произведение $(\overline{a}+\overline{b})(\overline{a}-2\overline{b}+\overline{c})(\overline{c}-\overline{a})$. В учебнике, на который ссылается этот задачник, и слова нет о тройном произведении. В Интернете прочитал, что это- смешанное произведение (ох уж эта несовместимость учебников, загадают иногда ребус, сиди и думай, что имелось в виду). Вот я попытался раскрыть скобки, пишу: $(\overline{a}+\overline{b})(\overline{a}-2\overline{b}+\overline{c})(\overline{c}-\overline{a})=((\overline{a}+\overline{b})\times(\overline{a}-2\overline{b}+\overline{c}))\cdot(\overline{c}-\overline{a})=(\overline{a}\times\overline{a}+\overline{b}\times\overline{a}-2\overline{a}\times\overline{b}-2\overline{b}\times\overline{b}+\overline{a}\times\overline{c}+\overline{b}\times\overline{c})\cdot(\overline{c}-\overline{a})=(-3\overline{a}\times\overline{b}+\overline{a}\times\overline{c}+\overline{b}\times\overline{c})\cdot(\overline{c}-\overline{a})=-3\overline{(a}\times\overline{b})\cdot(\overline{c}-\overline{a})+(\overline{a}\times\overline{c})\cdot(\overline{c}-\overline{a})+\overline{(b}\times\overline{c})\cdot(\overline{c}-\overline{a})= -3(\overline{a}\times\overline{b})\cdot\overline{c}+3(\overline{a}\times\overline{b})\cdot\overline{a}+(\overline{a}\times\overline{c})\cdot\overline{c}-(\overline{a}\times\overline{c})\cdot\overline{a}+(\overline{b}\times\overline{c})\cdot\overline{c}-(\overline{b}\times\overline{c})\cdot\overline{a}=-3\overline{a}\overline{b}\overline{c}+3\overline{a}\overline{b}\overline{a}+\overline{a}\overline{c}\overline{c}-\overline{a}\overline{c}\overline{a}+\overline{b}\overline{c}\overline{c}-\overline{b}\overline{c}\overline{a}= -3\overline{a}\overline{b}\overline{c}-\overline{a}\overline{b}\overline{c}=-4\overline{a}\overline{b}\overline{c} $. Скажите, пожалуйста, правильно ли я понимаю нюансы перехода от $\times$ и $\cdot$ к тройному произведению? И верен ли ответ, потому что в книге 0, а как может быть 0, когда множители независимы (если считать векторы $a,b,c$ независимы)? Другое дело, если во второй скобке перед 2 поставить плюс.

[provincialka]

У меня получилось так же, как у вас. Если можно, разбейте ваши форумы на несколько, из трудно читать.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

\begin{multline*}(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c})(\vec{c}-\vec{a})=((\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}))\cdot(\vec{c}-\vec{a})=\\(\vec{a}\times\vec{a}+\vec{b}\times\vec{a}-2\vec{a}\times\vec{b}-2\vec{b}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c})\cdot(\vec{c}-\vec{a})=\\(-3\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c})\cdot(\vec{c}-\vec{a})=\\-3\vec{(a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}-\vec{a})+(\vec{a}\times\vec{c})\cdot(\vec{c}-\vec{a})+\vec{(b}\times\vec{c})\cdot(\vec{c}-\vec{a})=\\ -3(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}+3(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}+(\vec{a}\times\vec{c})\cdot\vec{c}-(\vec{a}\times\vec{c})\cdot\vec{a}+(\vec{b}\times\vec{c})\cdot\vec{c}-(\vec{b}\times\vec{c})\cdot\vec{a}=\\-3\vec{a}\vec{b}\vec{c}+3\vec{a}\vec{b}\vec{a}+\vec{a}\vec{c}\vec{c}-\vec{a}\vec{c}\vec{a}+\vec{b}\vec{c}\vec{c}-\vec{b}\vec{c}\vec{a}=\\ -3\vec{a}\vec{b}\vec{c}-\vec{a}\vec{b}\vec{c}=-4\vec{a}\vec{b}\vec{c} \end{multline*}

[Someone]

В предпоследнем выражении откуда взялось ещё одно $\vec a\vec b\vec c$?

[svv]

$\mathbf p=\mathbf a+\mathbf b$
$\mathbf q=\mathbf a-2\mathbf b+\mathbf c$
$\mathbf r=-\mathbf a+\mathbf c$
$(\mathbf p \mathbf q \mathbf r)=\begin{vmatrix}p_a&q_a&r_a\\p_b&q_b&r_b\\p_c&q_c&r_c\end{vmatrix}(\mathbf a \mathbf b \mathbf c)=\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&-2&0\\0&1&1\end{vmatrix}(\mathbf a \mathbf b \mathbf c)=-4(\mathbf a \mathbf b \mathbf c)$

1) Вы просили проверить, так что я свободен в выборе способа.
2) Я привык, что смешанное произведение $(\mathbf p \mathbf q \mathbf r)=\mathbf p\cdot(\mathbf q \times \mathbf r)$, это отличается знаком от Вашего определения, но так как $(\mathbf a \mathbf b \mathbf c)$ понимается в том же смысле, на коэффициент $-4$ это не влияет.

[Sinoid]

Someone в сообщении #814785 писал(а):

В предпоследнем выражении откуда взялось ещё одно $\vec a\vec b\vec c$?

Это произведение последних слагаемых скобок.

provincialka в сообщении #814751 писал(а):

Если можно, разбейте ваши форумы на несколько, из трудно читать.

$(\overline{a}+\overline{b})(\overline{a}-2\overline{b}+\overline{c})(\overline{c}-\overline{a})=((\overline{a}+\overline{b})\times(\overline{a}-2\overline{b}+\overline{c}))\cdot(\overline{c}-\overline{a})=$

$(\overline{a}\times\overline{a}+\overline{b}\times\overline{a}-2\overline{a}\times\overline{b}-2\overline{b}\times\overline{b}+\overline{a}\times\overline{c}+\overline{b}\times\overline{c})\cdot(\overline{c}-\overline{a})=(-3\overline{a}\times\overline{b}+\overline{a}\times\overline{c}+\overline{b}\times\overline{c})\cdot(\overline{c}-\overline{a})=$

$-3\overline{(a}\times\overline{b})\cdot(\overline{c}-\overline{a})+(\overline{a}\times\overline{c})\cdot(\overline{c}-\overline{a})+\overline{(b}\times\overline{c})\cdot(\overline{c}-\overline{a})=-3(\overline{a}\times\overline{b})\cdot\overline{c}+3(\overline{a}\times\overline{b})\cdot\overline{a}+(\overline{a}\times\overline{c})\cdot\overline{c}-(\overline{a}\times\overline{c})\cdot\overline{a}+(\overline{b}\times\overline{c})\cdot\overline{c}-(\overline{b}\times\overline{c})\cdot\overline{a}=$
$-3\overline{a}\overline{b}\overline{c}+3\overline{a}\overline{b}\overline{a}+\overline{a}\overline{c}\overline{c}-\overline{a}\overline{c}\overline{a}+\overline{b}\overline{c}\overline{c}-\overline{b}\overline{c}\overline{a}= -3\overline{a}\overline{b}\overline{c}-\overline{a}\overline{b}\overline{c}=-4\overline{a}\overline{b}\overline{c}$
А в том задачнике векторы пишутся обычным текстом. А зачем Joker_vD переписал мое решение?

[Утундрий]

Мне нравится $\left( {\vec a,\vec b,\vec c} \right)$. Как-то наглядней.

[Someone]

Sinoid в сообщении #814831 писал(а):

Someone в сообщении #814785 писал(а):

В предпоследнем выражении откуда взялось ещё одно $\vec a\vec b\vec c$?

Это произведение последних слагаемых скобок.

Да, действительно. Проглядел.

(Sinoid)

Sinoid в сообщении #814831 писал(а):

А зачем Joker_vD переписал мое решение?

Видимо, хотел Вам помочь.
Кстати, чёрточку над одной буквой короче набирать как \bar, а стрелочку — \vec. Длинную чёрточку и длинную стрелочку — \overline и \overrightarrow.

[svv]

Sinoid
Joker_vD выполнил за Вас просьбу provincialka разбить формулы, чтобы их было легче читать.

(Оффтоп)

Ему понравилось Ваше решение, поэтому он похитил его, а в скором времени поместит его в свою статью и опубликует.

[Утундрий]

Кстати, циклический сдвиг несколько упрощает.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #814831 писал(а):

А в том задачнике векторы пишутся обычным текстом.

Кстати, действительно, раз тут одни векторы, а все встречающиеся скаляры записаны цифрами, можно было бы обойтись и без стрелочек, и чёрточек, и выделения. И если бы понадобились обозначенные буквами скаляры, взять, например, греческий алфавит.

[Sinoid]

Большое спасибо всем