Коэффициенты полинома и конечные разности

[HaimTal]

Добрый день!
Пусть имеется полином
$y=1+1x+1x^2+1x^3$

Я посчитал конечные разности при $x=0,1,2,3$, получилось $1,3,8,6
Как из $1,3,8,6 получить обратно коэффициенты $1,1,1,1 исходного полинома?
Как сделать то же самое для полинома четвертой, пятой и т.д. степени?

[provincialka]

А единичка откуда? И вообще, это разности чего: если значений полинома, там числа другие.

[svv]

provincialka

$\begin{matrix}1&&4&&15&&40\\&3&&11&&25&\\&&8&&14&&\\&&&6&&&\end{matrix}$
В верхней строке значения полинома при $x=0,1,2,3$, в каждой последующей строке разности значений из предыдущей строки (сверху-справа минус сверху-слева).

[provincialka]

А просто написать систему уравнений на коэффициенты и решить ее не подойдет?

[_Ivana]

Конечно подойдет. Но тут откровенный намек на форму Ньютона, формула коэффициентов гуглится за секунду или выводится за минуту.

[TOTAL]

HaimTal в сообщении #813956 писал(а):

$y=1+1x+1x^2+1x^3$

Я посчитал конечные разности при $x=0,1,2,3$, получилось $1,3,8,6
Как из $1,3,8,6 получить обратно коэффициенты $1,1,1,1 исходного полинома?

Сначала расскажите, как из $1,1,1,1$ получили $1,3,8,6$.

[HaimTal]

TOTAL в сообщении #814100 писал(а):

HaimTal в сообщении #813956 писал(а):

$y=1+1x+1x^2+1x^3$

Сначала расскажите, как из $1,1,1,1$ получили $1,3,8,6$.

Совершенно так, как написала provincialka. Числа с левой стороны треугольника.

-- 14.01.2014, 10:46 --

_Ivana в сообщении #814066 писал(а):

Конечно подойдет. Но тут откровенный намек на форму Ньютона, формула коэффициентов гуглится за секунду или выводится за минуту.

Да, биномиальные коэффициенты гуглятся за секунду. Но понять как их сюда применить, ума не хватает.

[provincialka]

При чем тут биномиальные коэффициенты? Это про интерполяционную формулу.

(Оффтоп)

если бы просто биномиальные коэффициенты, я бы сразу вам ответила, их-то я знаю. А вот этой формулы не знала. Спасибо _Ivana!

[TOTAL]

HaimTal в сообщении #814172 писал(а):

Да, биномиальные коэффициенты гуглятся за секунду. Но понять как их сюда применить, ума не хватает.

Куда применить, что хотите-то?

[provincialka]

TOTAL, не понимаю ваших вопросов. Чего хочет HaimTal рассказал svv и автор с ним согласился. А _Ivana дал нужную подсказку. Теперь пусть ТС читает.

[TOTAL]

provincialka в сообщении #814193 писал(а):

TOTAL, не понимаю ваших вопросов. Чего хочет HaimTal рассказал svv и автор с ним согласился. А _Ivana дал нужную подсказку. Теперь пусть ТС читает.

Не надо за ТС выдумывать, чего он хочет. Если он понимает, чего хочет, то пусть ясно и понятно это сформулирует.

[HaimTal]

provincialka в сообщении #814182 писал(а):

При чем тут биномиальные коэффициенты? Это про интерполяционную формулу.

(Оффтоп)

если бы просто биномиальные коэффициенты, я бы сразу вам ответила, их-то я знаю. А вот этой формулы не знала. Спасибо _Ivana!

Спасибо!
Дело за малым, осмыслить. Пугает конструкция $\frac{q(q-1)..(q-n+1)}{n!}$, где $q=\frac{x-x_0}h$

Хорошо, $ h=1$ , $ x_0=0$ , $x-x_0$ в каждом шаге будет равен $ x$. То-есть $q$ в моем случае, просто равно $x$. Значит в числителе будет $ (x-1)!$, а в знаменателе $n!$. А потом эту дробь надо умножить еще на соответствующее число из треугольника.

У меня выходит чушь:
$P_0(x)=1 $

$ P_1(x)=\frac 1 2 $

$ P_2(x)=2\frac 2 3 $

$ P_3(x)=6$

[TOTAL]

HaimTal в сообщении #814209 писал(а):

У меня выходит чушь

А хотели не чушь, хотели что-то другое? Что именно, что конкретно хотели?

[iifat]

Независимо от чего хотели, не расскажете, как это у вас константы-то получились?

[HaimTal]

TOTAL в сообщении #814216 писал(а):

HaimTal в сообщении #814209 писал(а):

У меня выходит чушь

А хотели не чушь, хотели что-то другое? Что именно, что конкретно хотели?

Для начала хочу понять, если для полинома степени $n$ с известными коэффициентами вычислить $ y(x) для $n+1 $ точек при $x_0...x_n=0...n$, а затем по полученным значениям интерполировать, получатся ли у интерполирующего полинома той же степени те же коэффициенты, что и у исходного?
Что-то вроде игры:
Один человек загадывает многочлен, и передает другому значения многочлена в точках. Другой должен угадать исходный многочлен по этим точкам.