Ряд Тейлора

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Возник вопрос по такой задаче: разложить в ряд по степеням $x-3$ и указать область сходимости для функции $f(x) = \frac{1}{x+4}$.

А вопрос такой: как будет рациональнее: воспользоваться табличным разложением или вручную считать производные?

Спасибо!

[exitone]

Редко когда стоит считать вручную. Просто выделите множитель $(x-3)$ в знаменателе.

[Limit79]

exitone

$$\frac{1}{x+4} = \frac{1}{(x-3)+7} = - \frac{1}{-7-(x-3)} = -7 \cdot \frac{1}{-1 - \frac{x-3}{7}}$$

Не получается привести к виду, чтобы воспользоваться разложением $\frac{1}{1-x}$

[arseniiv]

Семёрку неправильно вынесли. И можно было бы вынести и мешающий знак единицы.

-- Вт янв 14, 2014 01:44:55 --

Точнее, не выносить знак ещё раньше. Всё же было хорошо!

[Limit79]

Только вот так получилось:

$$\frac{1}{x+4} = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{1 - \left ( - \frac{x-3}{7} \right )}$$

[arseniiv]

Чи не оно?

[Limit79]

arseniiv

arseniiv в сообщении #814027 писал(а):

Чи не оно?

В смысле?

Если правильно преобразовал, то

$$\frac{1}{x+4} = \frac{1}{7} \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left ( - \frac{x-3}{7} \right )^n$$

Но вот вольфрам альфа эту сумму не считает ...

[provincialka]

Ну и зря! У вас верно.

[Limit79]

Ряд для $\frac{1}{1-x}$ сходится при $|x|<1$, а для моего будет:

$$\left | \frac{x-3}{7} \right | < 1 \Rightarrow -4<x<10$$

?

-- 14.01.2014, 00:01 --

И еще вопрос насчет области сходимости: надо ли проверять на сходимость вручную на границах интервала сходимости (или этот интервал - уже и есть область)?

[provincialka]

Откуда этот страшненький текст? "Ваша" область - правильная. Проверять ничего не надо, ведь вы просто сделали подстановку в известную формулу.

[Limit79]

provincialka
Текст из маткада.

То есть в табличном разложении указана область сходимости, а не интервал?

[provincialka]

Конечно!

[Limit79]

provincialka
Понял!

Спасибо за помощь, господа!