Теорема Стокса

[hxxxrz]

Поскажите пожалуйста, откуда эта формула следует:

$\iint\limits_S {dS = \iint\limits_{D(x,y)} {\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial x}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial y}}} \right)}^2}} }}dxdy$

Пример 3 отсюда http://www.math24.ru/stokes-theorem.html

[Otta]

Форма $dS=\sqrt{EG-F^2}\,du dv$ при произвольной параметризации. Как вариант (что то же) $dS=|[\vec r_u, \vec r_v]|\,dudv$.Здесь - параметризация $x=x, y=y, z=z(x,y)$. Посчитайте, убедитесь.

[ewert]

Поскольку теория там существенно трёхмерна, разумнее всего считать, что эта формула верна просто по определению площади поверхности. А поскольку конкретно в этом примере поверхность плоская -- ссылка на эту формулу конкретно здесь выглядит явным издевательством.

[hxxxrz]

ewert в сообщении #810689 писал(а):

Поскольку теория там существенно трёхмерна, разумнее всего считать, что эта формула верна просто по определению площади поверхности. А поскольку конкретно в этом примере поверхность плоская -- ссылка на эту формулу конкретно здесь выглядит явным издевательством.

(Оффтоп)

ну я не знал что это формула площади

Вот еще вопрос по решению на теорему Стокса:

Есть кривая

${x^2} + {y^2} + {z^2} = 2Rx$

${x^2} + {y^2} = 2rx$

$(0 < r < R)$

$(z > 0)$

пробегаемая так, что ограниченная ею на внешней стороне сферы ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 2Rx$ наименьшая часть остается слева.

Каким образом находить нормаль?

[ewert]

hxxxrz в сообщении #810761 писал(а):

Как найти нормаль?

А какие вообще формулы для вектора нормали Вам известны?...

[hxxxrz]

ewert в сообщении #810763 писал(а):

hxxxrz в сообщении #810761 писал(а):

Как найти нормаль?

А какие вообще формулы для вектора нормали Вам известны?...

Если поверхность задается уравнением вида $ax + by + cz = d$:

$\overrightarrow n = \frac{{a\overrightarrow i + b\overrightarrow j + c\overrightarrow k }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

Также если известна пара векторов на поверхности, можно вычислить нормаль найдя их векторное произведение.

[Otta]

А если поверхность задается уравнением $f(x,y,z)=0$?

[ewert]

hxxxrz в сообщении #810771 писал(а):

Если поверхность задается уравнением вида $ax + by + cz = d$:

, то это неинтересно. У вас безусловно были формулы для нормали к произвольной поверхности, заданной некоторым уравнением.

[hxxxrz]

Otta в сообщении #810780 писал(а):

А если поверхность задается уравнением $f(x,y,z)=0$?

не знаю, можете подсказать?

[ewert]

hxxxrz в сообщении #810771 писал(а):

Также если известна пара векторов на поверхности,

А вот это уж извините. "На поверхности" вообще никаких векторов не бывает, даже на плоской.

-- Вт янв 07, 2014 18:58:31 --

hxxxrz в сообщении #810783 писал(а):

, можете подсказать?

Можем: пролистайте учебник. Или чуть конкретнее: что Вам известно про градиент?...