Ряды Фурье [просто]

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Возник вопрос по такой, вроде простой, задаче: разложить функцию $f(x)=\sin(x)$ на отрезке $\left [- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]$ в ряд Фурье.

А вопрос, собственно, такой: в формулах для разложения принимать $L=\pi$ или $L=\frac{\pi}{2}$? (Не понимаю, $L$ -- это половина периода заданной функции $f(x)$ или же это половина отрезка, на котором необходимо получить разложение).

[provincialka]

Половина отрезка.

[ewert]

Limit79 в сообщении #810437 писал(а):

А вопрос, собственно, такой: в формулах для разложения принимать $L=\pi$ или $L=\frac{\pi}{2}$?

Смотря какая формула (к каждой формуле должна прилагаться инструкция по её применению). Но обычно любая уважающая себя формула содержит множитель $\frac2L$, и тогда $L$ -- это полная длина промежутка разложения.

[Limit79]

provincialka
ewert
Так все таки

provincialka в сообщении #810448 писал(а):

Половина отрезка.

или

ewert в сообщении #810453 писал(а):

полная длина промежутка разложения

?

[ewert]

Limit79 в сообщении #810746 писал(а):

Так все таки

"-- Так кому же верить?
-- Мне. Мой цвет приятней для глаза."
(с)

Задайте конкретный вопрос, т.е. приведите известные Вам формулы в полном виде, со всеми предположениями -- тогда и сможете надеяться на конкретный ответ. Если после этого он Вам вообще понадобится.

[Limit79]

ewert
Подумал, и пришел к такому выводу: $L$ -- половина отрезка, так как заданная функция, например $f(x)=x$ может быть вообще непериодической.

[iifat]

Это-то здесь причём? Ряд Фурье — периодическая функция.

[Limit79]

iifat
Это к этому:

Limit79 в сообщении #810437 писал(а):

Не понимаю, $L$ -- это половина периода заданной функции $f(x)$ или же это половина отрезка, на котором необходимо получить разложение

[ewert]

Limit79 в сообщении #810770 писал(а):

пришел к такому выводу: $L$ -- половина отрезка, так как заданная функция, например $f(x)=x$ может быть вообще непериодической.

Какой-то совсем бессмысленный вывод, со всех точек зрения.

Путаница с длиной или полудлиной возможна только в одном случае: если промежуток разложения симметричен, а функция является чётной или нечётной. Тогда вместо полного интеграла можно брать лишь интеграл по половине отрезка. Но это уже будет следствие из стандартных формул, а не сами формулы. Поэтому и спрашиваю -- о каких в точности формулах Вы говорите.

[provincialka]

В любом случае, $L$ связано с отрезком, на котором задана функция. А уж половина там или весь отрезок - это вопрос обозначений. Я привыкла весь отрезок обозначать через $T=2l$.

[Limit79]

ewert
Я, видимо, несколько невнятно сформулировал вопрос.

Формулы вот эти:

(Оффтоп)

Вопрос был в том, исходя из каких соображений, выбирать значение для $l$.

[iifat]

Не верю. Не, ей богу, не верю, что буквально в пределах пяти сантиметров выше или ниже не было пояснений по поводу $l$. Посмотрите, явите такую милость.

[Limit79]

И последний вопрос, как правильнее записать ответ:

$$S(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{8 n \cdot (-1)^n}{\pi \cdot (1-4n^2)}, x \in \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right )\\ 0, x=\pm \frac{\pi}{2} \end{matrix}\right$$

или

$$S(x) = \frac{8 n \cdot (-1)^n}{\pi \cdot (1-4n^2)} }, x \in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ]$$

?

-- 07.01.2014, 19:34 --

iifat
Я первым делом посмотрел туда:

(Оффтоп)

После того, как я посмотрел туда, и была создана данная тема.

[Otta]

Что за $n$ в сумме, которая должна зависеть от $x$? И где, собственно, ряд?

Limit79 в сообщении #810800 писал(а):

После того, как я посмотрел туда, и была создана данная тема.

Вот между " туда" и Вашей второй строкой "Для нечетных функций" должно быть еще несколько.

[Limit79]

Otta
Ой, точно.

$$S(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{8n \cdot (-1)^n}{\pi \cdot (1-4n^2)} \cdot \sin(2 n x)$$

А в точках разрыва, не знаю, как их лучше записать, возможно так: $\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, $S(x)=0$

Но вот как это записать в виде системы

-- 07.01.2014, 19:53 --

Otta в сообщении #810809 писал(а):

Вот между " туда" и Вашей второй строкой "Для нечетных функций" должно быть еще несколько.

Не понимаю, о чем Вы...

(Оффтоп)